Ejemplo de Binomios Conjugados

En álgebra, un binomio es una expresión con dos términos, los cuales tienen variable diferente y están separados por un signo positivo o negativo. Por ejemplo: a + 2b. Cuando hay una multiplicación de binomios, se puede presentar uno de los llamados Productos notables:

• Binomio al cuadrado: (a + b)² , que es lo mismo que (a + b)*(a + b)
• Binomios conjugados: (a + b)*(a – b)
• Binomios con término común: (a + b)*(a +c)
• Binomio al cubo (a + b)³, que es lo mismo que (a + b)* (a + b)* (a + b)

En esta ocasión, hablaremos de los binomios conjugados. Este producto notable es la multiplicación de dos binomios:

• En el primero, el segundo término tiene signo positivo: (a + b)
• En el segundo, el segundo término tiene signo negativo: (a - b)

Basta con que los dos signos sean diferentes. No importa el orden.

Regla de los binomios conjugados

Cuando dos binomios así se están multiplicando, se va a seguir una regla para resolver esta operación:

• Cuadrado del primero: (a)² = a²
• Menos el cuadrado del segundo: -(b)² = - b²

a² – b²

Esta regla tan sencilla se comprueba a continuación, multiplicando los binomios en el modo tradicional, término por término:

(a + b)*(a – b)

• (a)*(a) = a²
• (a)*(-b) = -ab
• (b)*(a) = +ab
• (b)*(-b) = -b²

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

a² – ab + ab – b²

Al tener signos opuestos, (-ab) y (+ab) se anulan, quedando finalmente:

 a² – b²

Ejemplos de binomios conjugados

Ejemplo 1.- (x + y)*(x – y) = x² – y²

• (x)*(x) = x²
• (x)*(-y) = -xy
• (y)*(x) = +xy
• (y)*(-y) = -y²

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

x² – xy + xy – y²

Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:

x² – y²

Ejemplo 2.- (a + c)*(a – c) = a² – c²

• (a)*(a) = a²
• (a)*(-c) = -ac
• (c)*(a) = +ac
• (c)*(-c) = -c²

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

a² – ac + ac – c²

Al tener signos opuestos, (-ac) y (+ac) se anulan, quedando finalmente:

a² – c²

Ejemplo 3.- (x² + y²)*(x² – y²) = x⁴ – y⁴

• (x²)*(x²) = x⁴
• (x²)*(-y²) = -x²y²
• (y²)*(x²) = +x²y²
• (y²)*(-y²) = -y⁴

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

x⁴ – x²y² + x²y² – y⁴

Al tener signos opuestos, (-x²y²) y (+x²y²) se anulan, quedando finalmente:

x⁴ – y⁴

Ejemplo 4.- (4x + 8y²)*(4x – 8y²) = 16x² – 64y⁴

• (4x)*(4x) = 16x²
• (4x)*(-8y²) = -32xy²
• (8y²)*(4x) = +32xy²
• (8y²)*(-8y²) = -64y⁴

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

16x² – 32xy² + 32xy² – 64y⁴

Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:

16x² – 64y⁴

Ejemplo 5.- (x³ + 3a)*(x³ – 3a) = x⁶ – 9a²

• (x³)*(x³) = x⁶
• (x³)*(-3a) = -3ax³
• (3a)*(x³) = +3ax³
• (3a)*(-3a) = -9a²

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

x⁶ – 3ax³ + 3ax³ – 9a²

Al tener signos opuestos, (-xy) y (+xy) se anulan, quedando finalmente:

x⁶ – 9a²

Ejemplo 6.- (a + 2b)*(a –  2b) = a² – 4b²

• (a)*(a) = a²
• (a)*(-2b) = -2ab
• (2b)*(a) = +2ab
• (2b)*(-2b) = -4b²

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

a² – 2ab + 2ab – 4b²

Al tener signos opuestos, (-2ab) y (+2ab) se anulan, quedando finalmente:

a² – 4b²

Ejemplo 7.- (2c + 3d)*(2c – 3d) = 4c² – 9d²

• (2c)*(2c) = 4c²
• (2c)*(-3d) = -6cd
• (3d)*(2c) = +6cd
• (3d)*(-3d) = -9d²

Los resultados se reúnen y forman la expresión:

4c² – 6cd + +6cd – 9d²

Al tener signos opuestos, (-6cd) y (+6cd) se anulan, quedando finalmente:

4c² – 9d²