Signos De Agrupación

Los signos de agrupación se utilizan en matemáticas para indicar el orden en el que las operaciones se deben realizar dentro de una expresión o una ecuación. Estos signos agrupan y otorgan jerarquía. Básicamente, dicen que operación debemos resolver primero.

La jerarquía que se utiliza para resolver las operaciones, es decir, el orden en cómo se deben resolver, es el siguiente:

1. Paréntesis
2. Exponentes
3. Multiplicación y División de izquierda a derecha
4. Suma y Resta de izquierda a derecha

Comencemos por explicar cuáles son y cómo se usan los signos de agrupación.

Explicando los signos de agrupación

Existen 3 tipos principales:

Paréntesis

Es el signo de agrupación más común, se representa con los símbolos "(" y ")" y se utiliza para separar operaciones simples del resto de la expresión numérica.

Por ejemplo: 5 + (4 × 3)

En esta expresión, los paréntesis nos indican que primero se debe resolver la multiplicación 4 x 3, y después se suma 5. Resolvamos:

5 + (4 × 3)
5 + (12)
5 +12 = 17

Sin los paréntesis esta operación daría un resultado completamente diferente:

5 + 4 x 3 = 27

Corchetes

Se utilizan para agrupar operaciones que ya tienen paréntesis en su interior. Se representan con los símbolos "[" y "]".

Por ejemplo: 10 - [6 - (2 * 3)]

En esta expresión numérica, la jerarquía para resolver las operaciones es la siguiente:

Primero los paréntesis y segundo los corchetes, es decir, resolvemos 2 x 3, y después se resta el resultado a -6.

Finalmente, se resta el resultado de la operación anterior a 10. Resolvamos:

10 - [6 - (2 * 3)]
10 - [6 - 6]
10 - 0 = 10

Sin los corchetes, esta operación daría un resultado completamente diferente:

10 - 6 - 2 * 3 = 4

Los corchetes son necesarios para cambiar la jerarquía y obtener el resultado correcto.

Llaves

Son el tipo de signo de agrupación más grande y se utilizan para agrupar toda la expresión numérica. Se usan principalmente en situaciones en las que es necesario agrupar múltiples operaciones en una sola y se representan con los símbolos "{" y "}".

Por ejemplo: 10 - {6 - [2 * (3 + 1)]}

La jerarquía para resolver las operaciones es la siguiente:

Primero los paréntesis, segundo los corchetes y finalmente las llaves. Es decir, primero resolvemos 3 + 1, después multiplicamos el resultado por 2 y luego restamos el resultado a 6.

Finalmente, restamos el resultado de la operación anterior a 10. Resolvamos:

10 - {6 - [2 * (3 + 1)]}
10 - {6 - [2 * 4]}
10 - {6 - 8}
10 - {-2} = 12

Pasos para resolver una expresión con signos de agrupación

1. Revisa la ecuación y asegúrate de que esté bien planteada.
2. Aplica la jerarquía de operaciones

1. Paréntesis
2. Exponentes
3. Multiplicación y División de izquierda a derecha
4. Suma y Resta de izquierda a derecha

1. Resuelve las operaciones dentro de los paréntesis:

1. Si hay anidamientos (paréntesis dentro de paréntesis), resuelve desde los más internos hasta los más externos.
2. Si hay corchetes y llaves, resuelve en el siguiente orden: paréntesis, corchetes y llaves.

1. Realiza las operaciones de exponentes si las hay.
2. Resuelve las operaciones de multiplicación y división de izquierda a derecha.
3. Resuelve las operaciones de suma y resta de izquierda a derecha.
4. Si la ecuación es algebraica (contiene variables), intenta aislar la variable en un lado de la ecuación para obtener la solución.

Aquí hay un ejemplo resuelto paso a paso de una ecuación que incluye signos de agrupación:

Resolver la ecuación 2x + 4 - [3 * (x - 1)] = 10

Paso 1: Revisar la ecuación 2x + 4 - [3 * (x - 1)] = 10

Paso 2 y 3: Resolver los paréntesis y corchetes 2x + 4 - [3 * (x - 1)] = 10 2x + 4 - [3x - 3] = 10

Paso 4: No hay exponentes en este ejemplo.

Paso 5: Realizar las operaciones de multiplicación y división 2x + 4 - 3x + 3 = 10

Paso 6: Realizar las operaciones de suma y resta (2x - 3x) + (4 + 3) = 10 -x + 7 = 10

Paso 7: Aislar la variable (x) para obtener la solución -x = 10 - 7 -x = 3 x = -3

Solución: x = -3

10 ejemplos de operaciones con signos de agrupación resueltos

Ejemplo 1

(3 + 7) * [5 - (2 + 3)]

Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis y corchetes:

= (10) * [5 - 5]

Luego, multiplicamos:

= 10 * 0 = 0

Ejemplo 2

2 * {4 + [8 - (6 - 4)]} - 5

Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis y corchetes:

= 2 * {4 + [8 - 2]} - 5

Ahora, resolvemos dentro de las llaves:

= 2 * {4 + 6} - 5

Continuamos resolviendo dentro de las llaves:

= 2 * {10} - 5

Finalmente, multiplicamos y restamos:

= 20 - 5 = 15

Ejemplo 3

[6 * (8 - 3)] - {7 + (9 - 6)}

Primero resolvemos las operaciones dentro de los paréntesis:

= [6 * (5)] - {7 + 3}

Luego, realizamos las multiplicaciones y sumas dentro de corchetes y llaves:

= [30] - {10}

Finalmente, resolvemos la resta:

= 30 - 10 = 20

Ejemplo 4

7 - 3 {5 - [6 + (5 - 8 - 4) + 7 - (7 + 6 - 4)] + 2} - 6,

Se comienza efectuando las operaciones de los paréntesis:

= 7 - 3 {5 - [6 + (-7) + 7 - (9)] + 2} - 6, ahora se retiran paréntesis

= 7 - 3 {5 - [-3] + 2} - 6, ahora se efectúan las operaciones dentro del corchete

= 7 - 3 {5 + 3 + 2} - 6, efectuando operaciones dentro de la llave

= 7 - 3 {10} - 6, se quitará la llave

= 7 - 30 - 6 = -29

Ejemplo 5

-6 + {-2 + 3 [2 (5 + 2 - 6 - 4) - (7 - 4 - 6) + (-7 + 2 + 3)] - 4} + 5

Iniciamos efectuando operaciones de los paréntesis:

= -6 + {-2 + 3 [2 (-3) - (-3) + (-2)] - 4} + 5 y ahora, quitando paréntesis:

= -6 + { -2 + 3 [-6 + 3 - 2] - 4} + 5, efectuando operaciones dentro del corchete

= -6 + { -2 - 15 - 4} + 5, efectuando operaciones dentro de la llave

= -6 + {-21} + 5, quitando llaves

= -6 - 21 + 5 = -22

Ejemplo 6

{3 - 4 * (2 + 5 - 9) - (4 + 8 - 10 - 6 + 7) - 5} + 3

= - {3 - 4 * (-2) - (3) - 5} + 3, ya se han resuelto las operaciones en paréntesis

= - {3 + 8 - 3 - 5} + 3, ahora se eliminaron paréntesis

= -3 + 8 - 3 + 5 + 3, ya se afectó la llave con el signo negativo, y se añade lo demás

= 0

Ejemplo 7

(5 + 4 - 8) (9 + 5 - 8)

= (1) * (6) Se simplifica la operación acumulando aparte positivos y negativos.

= 6 Se eliminan paréntesis y se resuelve la multiplicación.

Ejemplo 8

5 * (9 + 3 - 8 + 2)

= 5 * (6) Se acumulan aparte positivos y negativos.

= 30 Se multiplica por el resultado del paréntesis.

Ejemplo 9

(3 + 5 - 2 + 8 - 2)

= -3 - 5 + 2 - 8 + 2 Se afecta todo lo de dentro del paréntesis con el signo negativo de afuera.

= -16 + 4 = -12 Se acumulan positivos y negativos y se resuelve.

Ejemplo 10

-2 * {-3 (5 + 4 - 3 - 6) - (2 + 4 + 8 - 9)} + 7

= -2 * {-3 (0) - (5)} + 7 Se calculan primero las cantidades de los paréntesis

= -2 * { -5} + 7 Se eliminan los paréntesis y se deja la llave como agrupación final

= 10 + 7 = 17 Se multiplica la llave por el factor y se le añade la suma final.