Ejemplo de Binomio Al Cuadrado

Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos que se suman o se restan. Un binomio al cuadrado es una suma algebraica que se suma por sí misma, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)².

El producto de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. Se le llama cuadrado perfecto, porque el resultado de su raíz cuadrada siempre es un binomio.

¿Cómo se resuelve un binomio al cuadrado?

Como en toda multiplicación algebraica, el resultado se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer término, por los términos del segundo, y sumando los términos comunes:

Al elevar al cuadrado el binomio: x+z, la multiplicación la haremos de la siguiente forma:

(x+z)² = (x+z)(x+z) = (x)(x)+(x)(z)+(z)(x)+(z)(z)= x²+xz+xz+z² = x²+2xz+z²

Si el binomio es x–z, entonces la operación será:

(x–z)² = (x–z)(x–z) = (x)(x)+(x)( –z)+( –z)(x)+(z)(z)= x²–xz–xz+z² = x²–2xz+z²

Puntos importantes a recordar:

Todo número elevado al cuadrado, siempre da como resultado un número positivo: (a)(a) = a²; (–a)( –a)= a²

Todo exponente elevado a una potencia, se multiplica por la potencia a la que se eleva. En este caso, todos los exponentes elevados al cuadrado, se multiplican por 2: (a³)² = a⁶; (–b⁴)² = b⁸

El resultado de un binomio al cuadrado, siempre es un trinomio cuadrado perfecto. A este tipo de operaciones se les llama productos notables. En los productos notables, el resultado se puede obtener por inspección, es decir, sin hacer todas las operaciones de la ecuación. En el caso del binomio al cuadrado, el resultado se obtiene con las siguientes reglas de la inspección:

1. Escribiremos el cuadrado del primer término.
2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término.
3. Sumaremos el cuadrado del segundo término.

Si aplicamos estas reglas a los ejemplos que usamos arriba, tendremos:

(x+z)²

1. Escribiremos el cuadrado del primer término: x²
2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término: 2xz
3. Sumaremos el cuadrado del segundo término: z².

El resultado es: x²+2xz+z²

(x–z)²

1. Escribiremos el cuadrado del primer término: x².
2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término: –2xz.
3. Sumaremos el cuadrado del segundo término: z².

El resultado es x²+(–2xz)+z² = x²–2xz+z²

Como podemos observar, en el caso de que la operación de multiplicar el primer por el segundo término, sea un resultado negativo, es lo mismo que directamente restar el resultado. Recordemos que al sumar un número negativo, y reducir los signos, el resultado será restar el número.

Así se resuelve:  (4x³ – 2y²)²

El cuadrado del primer término: (4x³)² = 16x⁶
El doble producto del primero por el segundo: 2 [(4x³)(–2y²)] = –16x³y²
El cuadrado del segundo término: (2y²)² = 4y⁴

25 Ejemplos de binomios al cuadrado:

1. (4x³ – 2y²)² = 16x⁶ –16x³y²+ 4y⁴
   
2. (5a³x⁴ – 3b⁶y²)² = 25a⁶x⁸ – 30a³b⁶x⁴y²+ 9b¹²y⁴
   
3. (5a³x⁴ + 3b⁶y²)² = 25a⁶x⁸ + 30a³b⁶x⁴y²+ 9b¹²y⁴
   
4. (– 5a³x⁴ – 3b⁶y²)² = 25a⁶x⁸ + 30a³b⁶x⁴y²+ 9b¹²y⁴
   
5. (– 5a³x⁴ + 3b⁶y²)² = 25a⁶x⁸ – 30a³b⁶x⁴y²+ 9b¹²y⁴
   
6. (6mx + 4ny)² = 36m²n² + 48mnxy + 16n²y²
   
7. (6mx – 4ny)² = 36m²n² – 48mnxy + 16n²y²
   
8. (–6mx + 4ny)² = 36m²n² – 48mnxy + 16n²y²
   
9. (–6mx – 4ny)² = 36m²n² + 48mnxy + 16n²y²
   
10. (4vt – 2ab)² = 16v²t² – 16abvt + 4a²b²
    
11. (–4vt + 2ab)² = 16v²t² – 16abvt + 4a²b²
    
12. (–4vt – 2ab)² = 16v²t² + 16abvt + 4a²b²
    
13. (4vt + 2ab)² = 16v²t² + 16abvt + 4a²b²
    
14. (3x⁵ + 8)² = 9x¹⁰ + 48x⁵ + 64
15. (– 3x⁵ – 8)² = 9x¹⁰ + 48x⁵ + 64
16. (– 3x⁵ + 8)² = 9x¹⁰ – 48x⁵ + 64
17. (3x⁵ – 8)² = 9x¹⁰ – 48x⁵ + 64
18. (3a³b – 3ab³)² = 9a⁶b² – 18a⁴b⁴ + 9a²b⁶
    
19. (3a³b + 3ab³)² = 9a⁶b² + 18a⁴b⁴ + 9a²b⁶
    
20. (– 3a³b – 3ab³)² = 9a⁶b² + 18a⁴b⁴ + 9a²b⁶
    
21. (–3a³b + 3ab³)² = 9a⁶b² – 18a⁴b⁴ + 9a²b⁶
    
22. (2a – 3b²)² = 4a² + 12 ab² + 9b⁴
    
23. (2a + 3b²)² = 4a² + 12 ab² + 9b⁴
    
24. (–2a + 3b²)² = 4a² – 12 ab² + 9b⁴
    
25. (2a – 3b²)² = 4a² – 12 ab² + 9b⁴