Ejemplo de Binomio Al Cubo

En álgebra, un binomio es una expresión de dos términos, que se añaden con signos positivos o negativos. Cuando se multiplican binomios, se puede presentar uno de los llamados Productos notables:

• Binomio al cuadrado: (a + b)² , que es lo mismo que (a + b)*(a + b)
• Binomios conjugados: (a + b)*(a – b)
• Binomios con término común: (a + b)*(a +c)
• Binomio al cubo: (a + b)³, que es lo mismo que (a + b)* (a + b)* (a + b)

En esta ocasión hablaremos del binomio al cubo. Este producto notable es el producto del binomio por sí mismo, y otra vez: (a + b)* (a + b)* (a + b). Es lo mismo que elevar el binomio al exponente 3. Para obtener el resultado de esta operación algebraica, se sigue una regla ya establecida, que dice:

• Cubo del primer término: (a)³ = a³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(a)²*(b) = + 3a²b
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(a)*(b)² = + 3ab²
• Más el cubo del segundo término: (b)³ = b³

a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Esta misma regla se aplica a todos los binomios que se eleven al cubo.

Ejemplos de binomio al cubo

Ejemplo 1.- (x + y)³

• Cubo del primer término: (x)³ = x³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(x)²*(y) = + 3x²y
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(x)*(y)² = + 3xy²
• Más el cubo del segundo término: (y)³ = + y³

x³ + 3x²y + 3xy² + y³

Ejemplo 2.- (x – y)³

• Cubo del primer término: (x)³ = x³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(x)²*(-y) = - 3x²y
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(x)*(-y)² = + 3xy²
• Más el cubo del segundo término: (-y)³ = -y³

x³ - 3x²y + 3xy² - y³

Ejemplo 3.- (x + ab)³

• Cubo del primer término: (x)³ = x³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(x)²*(ab) = + 3abx²
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(x)*(ab)² = + 3a²b²x
• Más el cubo del segundo término: (ab)³ = + a³b³

x³ + 3abx² + 3a²b²x + a³b³

Ejemplo 4.- (y – cd)³

• Cubo del primer término: (y)³ = y³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(y)²*(-cd) = - 3cdy²
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(y)*(-cd)² = + 3c²d²y
• Más el cubo del segundo término: (-cd)³ = -c³d³

y³ – 3cdy² + 3c²d²y – c³d³

Ejemplo 5.- (2x + z)³

• Cubo del primer término: (2x)³ = 8x³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(2x)²*(z) = + 12x²z
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(2x)*(z)² = + 6xz²
• Más el cubo del segundo término: (z)³ = + z³

8x³ + 12x²z + 6xz² + z³

Ejemplo 6.- (x – 2y)³

• Cubo del primer término: (x)³ = x³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(x)²*(-2y) = - 6x²y
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(x)*(-2y)² = + 12xy²
• Más el cubo del segundo término: (-2y)³ = -8y³

x³ – 6x²y + 12xy² – 8y³

Ejemplo 7.- (a²b + x)³

• Cubo del primer término: (a²b)³ = a⁶b³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(a²b)²*(x) = + 3a⁴b²x
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(a²b)*(x)² = + 3a²bx²
• Más el cubo del segundo término: (x)³ = x³

a⁶b³ + 3a⁴b²x + 3a²bx² + x³

Ejemplo 8.- (ab² + y)³

• Cubo del primer término: (ab²)³ = a³b⁶
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(ab²)²*(y) = + 3a²b⁴y
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(ab²)*(y)² = + 3ab²y²
• Más el cubo del segundo término: (y)³ = y³

a³b⁶ + 3a²b⁴y + 3ab²y²+ y³

Ejemplo 9.- (x³ + y²)³

• Cubo del primer término: (x³)³ = x⁹
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(x³)²*(y²) = + 3x⁶y²
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(x³)*(y²)² = + 3x³y⁴
• Más el cubo del segundo término: (y²)³ = y⁶

x⁹ + 3x⁶y² + 3x³y⁴+ y⁶

Ejemplo 10.- (xy²z – a)³

• Cubo del primer término: (xy²z)³ = x³y⁶z³
• Más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo: + 3*(xy²z)²(-a) = - 3ax²y⁴z²
• Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo: + 3*(xy²z)(-a)² = + 3a²xy²z
• Más el cubo del segundo término: (-a)³ = -a³

x³y⁶z³ - 3ax²y⁴z² + 3a²xy²z - a³