Ejemplos de Binomio De Newton

El binomio de Newton, también llamado “teorema binomial” es un logaritmo que nos permite obtener potencias de binomios.

Para logar la obtención de la potencia binomial son utilizados los coeficientes denominados “coeficientes binomiales” los cuales consisten en sucesiones de combinaciones.

Ejemplo 1, Formulas generales del binomio de Newton:

(a + b)² = a² + 2 ab + b²
(a – b)² = a² –2 ab + b²
(a + b)3 a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

Estas fórmulas se conocen con el nombre de identidades notables, donde se crea una fórmula  más general que equivale al desarrollo de (a + b)ⁿ, siendo n un número entero natural cualquiera.

Esta fórmula es válida para cualquier elemento a y b de un anillo,

A (para las leyes  + y x) a

Condición de que los dos elementos a y b sean tales que a x b = b x a:

(a + b)ⁿ = aⁿ + C¹_n a^n-2 xb² + ...
+ C^p_n  a^n-p x b^p + … + C_pⁿ¹ + bⁿ.

Los C^p_n son números enteros naturales, llamados coeficientes del binomio (los que expresan el número de combinaciones de n elementos tomados p a p; pueden ser calculados fácilmente gracias al triangulo de pascal).

Ejemplo 2, del binomio de Newton:

Consideramos la multiplicación:

z . z = z² donde z puede ser cualquier expresión algebraica:

Ahora supongamos  que z = x + y, entonces:

z . z = (x + y) = (x + y) pero  (x + y)

lo que se puede calcular así:

x + y
x + y

Aquí  la multiplicación se efectúa de izquierda a derecha y el resultado se obtiene al sumar algebraicamente:

x² + x y
    + xy +y^{2
------------------------------}

x² + 2 x y + y²

(x + y)² = x² + 2 x y + y²

Si consideramos:

z . z . z = z³;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)² . (x + y)2 . (x + y) = (x² + 2 xy + y²)  (x + y)

Cuando se efectúa la multiplicación obtenemos:

X2 + 2 x  y + y2
      + x²y + 2 x y² + y^{2
-----------------------------------------}

X³ + 3 x² y + 3 x y² + y³

(x + y)² (x + y) = (x + y)³ = x³ + 3 x² y + 3 x y² + y³.

 z³ . z = z⁴

z3 . z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Y cuando realizamos la multiplicación.

x³ + x² y + 3 x y² + y³

x  + y_________________

x⁴ + 3 x³  y + 3 x² y² + x y³

+ x³ y + 3 x2 y2 + 3xy³ + y^{4
-------------------------------------------------}

x⁴ + 4x³y + 6x² y + 4xy³ + y⁴

(x+ y)⁴ =  x4 + 4x³y + 6x² y² + 4xy³ + y⁴