Ejemplo de Trinomio Al Cuadrado

En álgebra, un trinomio es una expresión que tiene tres términos, es decir, tres valores que se están sumando o restando. Resultan de operaciones como el cuadrado de un binomio, en las que, al ir añadiendo los términos entre sí (sumándolos o restándolos), quedan tres variables diferentes. Un ejemplo de trinomio es el siguiente:

x² + 2xy + y²

En este trinomio, se notan tres términos: (x²), (2xy), (y²), y entre ellos hay signos de suma (+). Quedan escritos así porque no se pueden ya reducir. Esto significa que no se pueden agregar entre ellos para que queden dos o un término.

¿Cómo se obtiene un trinomio?

La forma más sencilla en la que se puede obtener un trinomio es con uno de los productos notables: el binomio al cuadrado. La operación sucede de la siguiente manera:

Si el binomio es:

x + y

La regla para resolverlo es:

• Cuadrado del primer término (x*x = x²)
• Más el doble producto del primero por el segundo + (2*x*y = 2xy)
• Más el cuadrado del segundo + (y*y = y²)

El resultado es el trinomio siguiente:

x² + 2xy + y²

A este se le llama Trinomio cuadrado perfecto. Hay que poner atención: existen dos conceptos que se debe aprender a diferenciar correctamente:

• Trinomio cuadrado perfecto: Es el resultado de un binomio al cuadrado.
• Trinomio al cuadrado: Es un trinomio que se multiplica por sí mismo, es decir, se eleva al cuadrado.

Ejemplo de trinomio al cuadrado

El trinomio al cuadrado es una operación algebraica en la que un trinomio se multiplica por sí mismo para elevarse al cuadrado. El procedimiento para obtenerlo es ir multiplicando término a término, hasta obtener los que van a formar el resultado.

Para el mismo trinomio del inicio:

x² + 2xy + y²

La operación se escribe:

(x² + 2xy + y²) ²

Que es lo mismo que:

(x² + 2xy + y²) * (x² + 2xy + y²)

Procedimiento para calcularlo

Se va a establecer una forma muy sencilla de desarrollar la operación, que consiste en multiplicar todo el trinomio por cada uno de los términos. Se explica:

Paso 1: (todo el trinomio) * (primer término)

(x² + 2xy + y²) * x²

Uno por uno:

(x²) * x² = x⁴

(2xy) * x² = 2x³y

(y²) * x² = x²y²

Resultados de Paso 1:

x⁴ + 2x³y + x²y²

Paso 2: (todo el trinomio) * (segundo término)

(x² + 2xy + y²) * 2xy

Uno por uno:

(x²) * 2xy = 2x³y

(2xy) * 2xy = 4x²y²

(y²) * 2xy = 2xy³

Resultados de Paso 2:

2x³y + 4x²y² + 2xy³

Paso 3: (todo el trinomio) * (tercer término)

(x² + 2xy + y²) * y²

Uno por uno:

(x²) * y² = x²y²

(2xy) * y² = 2xy³

(y²) * y² = y⁴

Resultados de Paso 3:

x²y² + 2xy³ + y⁴

Paso 4: Se añaden los tres resultados

Resultados Paso1: x⁴ + 2x³y + x²y²

Resultados Paso 2: 2x³y + 4x²y² + 2xy³

Resultados Paso 3: x²y² + 2xy³ + y⁴

Suma: x⁴ + 2x³y + x²y² + 2x³y + 4x²y² + 2xy³ + x²y² + 2xy³ + y⁴

Paso 5: Se reducen los términos semejantes

x⁴ + 2x³y + x²y² + 2x³y + 4x²y² + 2xy³ + x²y² + 2xy³ + y⁴

x⁴ + 2 (2x³y) + 6 (x²y²) + 2 (2xy³) + y⁴

x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

Ley para el trinomio al cuadrado

Si se requiere establecer una ley para calcular el trinomio al cuadrado con base en el resultado que se obtiene, se escribiría así:

Cuadrado del primer término

Más el doble producto del primero por el segundo

Más seis veces el producto del primero por el tercero

Más el doble producto del segundo por el tercero

Más el cuadrado del tercero

Se parte del ejemplo. El trinomio es:

x² + 2xy + y²

El resultado ha sido:

x⁴ + 4x³y + 6x²y² + 4xy³ + y⁴

• Sigue con: Trinomio al cubo.