Ejemplo de Resta Algebráica

La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están compuestas por términos numéricos, literales, y exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:

Resta de monomios:

La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.

Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente). Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que multiplicar por x:

2x – 4x = (2 – 4)x = –2x

Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo negativo, cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para no tener confusión,  escribimos los números con signo negativo, o incluso todas las expresiones, entre paréntesis: (4x) – (–2x).:

(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.

Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de tener en cuenta:

(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x.

En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la resta algebraica es un polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo. Para distinguir la resta de su resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre paréntesis:

(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a²) – (3b) = a – 2a² – 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n

Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás términos:

(2a) – (–6b²) – (–3a²) – (–4b²) – (7a) – (9a²)= [(2a) – (7a)] – [(–3a²) – (9a²)] – [(–6b²) – (–4b²)] = [–5a]–[ –10b²]–[ –6a²] = –5a + 12a² +2b²

Resta de polinomios:

Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. Para restar dos polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:

Restaremos c + 6b² –3a + 5b de 3a² + 4a + 6b –5c – 8b²

1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de cada término:

 4a +3a² + 6b – 8b²
 –3a + 5b + 6b² + c

2. Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–sustraendo: [(4a) –(–3a)] + 3a² + [(6b) – (5b)] + [(– 8b²) – (6b²)] – c
3. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de signo: [4a + 3a] + 3a² + [6b – 5b] + [– 8b² – 6b²] – c = 7a + 3a² + b – 14b² – c

Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en forma vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de abajo: 

Como estamos realizando una resta, los signos del sustraendo cambiarán, por lo que si lo expresamos como una suma en la que todos los signos del sustraendo se invierten, entonces quedará así y resolvemos:

Resta de monomios y polinomios:

Como podemos deducir de lo ya explicado, para restar un monomio de un polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el monomio se restará al término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega al polinomio como la resta de un término más:

Si tenemos (2x + 3x² – 4y) – (–4x²) Alineamos los términos comunes y realizamos la resta: 

(Recordemos que restar un número negativo equivale a sumarlo, es decir, se invierte su signo)

Si tenemos (m – 2n² + 3p) – (4n), realizamos la resta, alineando los términos:

Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su identificación y los cálculos de cada operación.

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Ejemplos de resta algebraica

(3x) – (4x) = –x
(–3x) – (4x) = –7x
(3x) – (–4x) = 7x
(–3x) – (–4x) = x
(2x) – (2x²) = 2x – 2x²
(–2x) – (2x²) = –2x – 2x²
(2x) – (–2x²) = 2x + 2x²
(–2x) – (–2x²) = –2x + 2x²
(–3m) – (4m²) – (4n) = –3m – 4m² – 4n
(–3m) – (–4m²) + (4n) = –3m + 4m² + 4n
(–3m) + (4m²) – (–4n) = –3m – 4m² + 4n
(3m) – (4m²) – (4n) = 3m – 4m² – 4n
(2b² + 4c + 3a³) – (5a + 3b + c²) = – 5a + 3a³ – 3b + 2b² + 4c – c²
(–2b² + 4c + 3a³) – (5a + 3b – c²) = – 5a + 3a³ – 3b – 2b² + 4c + c²
(2b² + 4c – 3a³) – (5a + 3b – c²) = – 5a – 3a³ – 3b + 2b² + 4c + c²
(2b² – 4c + 3a³) – (5a + 3b + c²) = – 5a + 3a³ – 3b + 2b² – 4c – c²
(2b² + 4c + 3a³) – (–5a + 3b + c²) = 5a + 3a³ – 3b + 2b² + 4c – c²
(–2b² – 4c – 3a³) – (–5a – 3b – c²) = 5a – 3a³ + 3b – 2b² – 4c + c²
(4x² + 6y + 3y²) – (x + 3 x² + y²) = – x + x² + 6y + 2y²
(–4x² + 6y + 3y²) – (x + 3 x² + y²) = – x – 7x² + 6y + 2y²
(4x² + 6y + 3y²) – (x – 3 x² + y²) = – x + 7x² + 6y + 2y²
(4x² – 6y – 3y²) – (x + 3 x² + y²) = – x + x² – 6y – 4y²
(4x² + 6y + 3y²) – (–x + 3 x² – y²) = x + x² + 6y + 4y²
(–4x² – 6y – 3y²) – (–x – 3 x² – y²) = x –x² – 6y – 2y²
(x + y + 2z²) – (x + y + z²) = z²
(x + y + 2z²) – (–x + y + z²) = 2x + z²
(x – y + 2z²) – (–x + y + z²) = 2x – 2y + z²
(x – y – 2z²) – (x + y + z²) = 2y – 3z²
(–x + y + 2z²) – (x + y – z²) = –2x + 3z²
(–x – y – 2z²) – (–x – y – z²) = – z²

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