Ejemplos de Sustitución

En matemáticas, se llama sustitución a uno de los métodos que se usan para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas. Dicho de otro modo, sirve para conocer los valores de “x” e “y”, que son las incógnitas del problema. Se puede usar con dos o más incógnitas, pero es ideal para dos.

Consiste en una serie de sencillos pasos:

• Despejamos “y” de la ecuación #1
• La “y” queda como una función de “x”; la llamamos: ecuación #3
• La ecuación #3 podrá ser puesta en lugar de la “y” de la ecuación #2
• La ecuación #2 tendrá sólo “x” como incógnita
• Resolvemos “x” en la ecuación #2
• Se obtiene el valor numérico de “x”
• Se pone el valor numérico de “x” en la ecuación #1
• Se obtiene el valor numérico de “y”
• Se declaran los valores de las incógnitas
• Se demuestra que estos valores satisfacen ambas ecuaciones

La ventaja de este método es que se puede empezar con cualquier ecuación y con cualquier incógnita. El caso es poner el despeje inicial en la ecuación opuesta, para ya empezar a resolver.

Requisitos del método de sustitución

Para que el método de sustitución se pueda utilizar, se deben observar los aspectos del problema:

• Que sean dos ecuaciones algebraicas
• Que tengan un término con la primera incógnita (x)
• Que tengan un término con la segunda incógnita (y)
• Que tengan un término constante (número)

Por ejemplo, para las ecuaciones:

4x + 3y = -1

3x + 5y = -9

• Son dos ecuaciones algebraicas, dado que llevan incógnitas
• Cada una tiene un término con “x”: “4x” y “3x”
• Cada una tiene un término con “y”: “3y” y “5y”
• Cada una tiene un término constante: “-1” y “-9”

Cuando se cumplen estos cuatro enunciados, podemos empezar a resolver, y cuando se haya desarrollado todo el método, podremos decir que “ambas ecuaciones se satisfacen”, es decir, que los valores encontrados de “x” y de “y” pueden introducirse a cada una y el resultado es la igualdad. Para explicar el método es necesario abordar un ejemplo.

Ejemplo del Método de sustitución

Ecuación #1: 4x + 3y = -1

Ecuación #2: 3x + 5y = -9

Primer paso: Selección de una ecuación y despeje de una incógnita

Seleccionamos la ecuación 1 y despejamos “y”:

Ecuación #1: 4x + 3y = -1

y = (-1 -4x) / 3         -->       Ecuación #3: una función de “x”

Segundo paso: Sustitución

Sustituimos la Ecuación #3 en la Ecuación #2. Dicho de otro modo, se pone el valor de “y” en la Ecuación #2.

Ecuación #2: 3x + 5y = -9

3x + 5 [ (-1 -4x) / 3 ] = -9

Ahora ha quedado sólo “x” como incógnita.

Tercer paso: Solución de “x”

Se resuelve la incógnita “x”:

3x + 5 [ (-1 -4x) / 3 ] = -9

3x + 5 [ (-1/3) – (4x/3) = -9

3x – 5/3 – 20x/3 = -9

Multiplicaremos por 3 para quitar los tercios y facilitar el cálculo:

3 (3x – 5/3 – 20x/3 = -9)

9x – 5 – 20x = -27

Reagrupamos para tener “x” de un lado del signo “=” y constantes del otro:

9x – 20x = -27 + 5

-11x = -22

x = -22 / -11

x = 2

Cuarto paso: Se sustituye “x” en la ecuación #1

Ecuación #1: 4x + 3y = -1

x = 2

4 (2) + 3y = -1

Quinto paso: Se obtiene “y” en la ecuación #1

4 (2) + 3y = -1

8 + 3y = -1

3y = -1 – 8

3y = -9

y = -9 / 3

y = -3

Sexto paso: Se declaran los valores de las incógnitas

x = 2

y = -3

Séptimo paso: Demostración de que los valores satisfacen las ecuaciones

Ecuación #1:

4x + 3y = -1 --> 4(2) + 3(-3) = -1 --> 8 – 9 = -1 --> -1 = -1  

Los valores a los dos lados de la igualdad coinciden. El valor de “x” es correcto.

Ecuación #2:

3x + 5y = -9 --> 3(2) + 5(-3) = -9 --> 6 – 15 = -9 --> -9 = -9

Los valores a los dos lados de la igualdad coinciden. El valor de “y” es correcto.