Ejemplo de Binomio De Newton

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El binomio de Newton, también llamado “teorema binomial” es un logaritmo que nos permite obtener potencias de binomios.

Para logar la obtención de la potencia binomial son utilizados los coeficientes denominados “coeficientes binomiales” los cuales consisten en sucesiones de combinaciones.

Ejemplo 1, Formulas generales del binomio de Newton:

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2
(a – b)2 = a2 –2 ab + b2
(a + b)3 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

Estas fórmulas se conocen con el nombre de identidades notables, donde se crea una fórmula  más general que equivale al desarrollo de (a + b)n, siendo n un número entero natural cualquiera.

Esta fórmula es válida para cualquier elemento a y b de un anillo,

A (para las leyes  + y x) a

Condición de que los dos elementos a y b sean tales que a x b = b x a:

(a + b)n = an + C1n an-2 xb2 + ...
+ Cpn  an-p x bp + … + Cpn1 + bn.

Los Cpn son números enteros naturales, llamados coeficientes del binomio (los que expresan el número de combinaciones de n elementos tomados p a p; pueden ser calculados fácilmente gracias al triangulo de pascal).

Ejemplo 2, del binomio de Newton:

Consideramos la multiplicación:

z . z = z2 donde z puede ser cualquier expresión algebraica:

Ahora supongamos  que z = x + y, entonces:

z . z = (x + y) = (x + y) pero  (x + y)

lo que se puede calcular así:

x + y
x + y

Aquí  la multiplicación se efectúa de izquierda a derecha y el resultado se obtiene al sumar algebraicamente:

x2 + x y
    + xy +y2
------------------------------

x2 + 2 x y + y2

(x + y)2 = x2 + 2 x y + y2

Si consideramos:

z . z . z = z3;

(x + y) (x + y) (x + y) = (x + y)2 . (x + y)2 . (x + y) = (x2 + 2 xy + y2)  (x + y)

Cuando se efectúa la multiplicación obtenemos:

X2 + 2 x  y + y2
      + x2y + 2 x y2 + y2
-----------------------------------------

X3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3

(x + y)2 (x + y) = (x + y)3 = x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3.

 z3 . z = z4

z3 . z = (x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3) (x + y)

Y cuando realizamos la multiplicación.

x3 + x2 y + 3 x y2 + y3

x  + y_________________

x4 + 3 x3  y + 3 x2 y2 + x y3

+ x3 y + 3 x2 y2 + 3xy3 + y4
-------------------------------------------------

x4 + 4x3y + 6x2 y + 4xy3 + y4

(x+ y)4 =  x4 + 4x3y + 6x2 y2 + 4xy3 + y4

¿Cómo citar? Figueroa,V. & Del Moral, M. (s.f.). Ejemplo de Binomio De Newton.Ejemplo de. Recuperado el 27 de Septiembre de 2023 de https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4377-ejemplo_de_binomio_de_newton.html

Escrito por:
Victor Humberto Clemenceau Figueroa
Licenciatura en Filosofía
Universidad Abierta de México
Mauricio del Moral Durán
Mauricio del Moral, fundador y creador de Ejemplo de, es un experto en enseñanza y un apasionado del ámbito educativo desde el año 2007. Ha dedicado una considerable parte de su vida profesional al estudio y al desarrollo de contenidos educativos en formatos digitales de alta calidad. Poseedor de una Licenciatura en Ciencias de la Comunicación, Mauricio es egresado de la prestigiosa Universidad Intercontinental.
Última modificación: 2016-07-20

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