Ejemplo de Binomio al Cuadrado

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Autor: Redacción Ejemplode.com, año 2017

Un binomio es una expresión algebraica que consta de dos términos que se suman o se restan. A su vez, éstos términos pueden ser positivos o negativos.

Un binomio al cuadrado es una suma algebraica que se suma por sí misma, es decir, si tenemos el binomio a + b, el cuadrado de ese binomio es (a + b) (a + b) y se expresa como (a + b)2.

El producto de un binomio al cuadrado se llama trinomio cuadrado perfecto. Se le llama cuadrado perfecto, porque el resultado de su raíz cuadrada siempre es un binomio.

Como en toda multiplicación algebraica, el resultado se obtiene multiplicando cada uno de los términos del primer término, por los términos del segundo, y sumando los términos comunes:

Al elevar al cuadrado el binomio: x+z, la multiplicación la haremos de la siguiente forma:

(x+z)2 = (x+z)(x+z) = (x)(x)+(x)(z)+(z)(x)+(z)(z)= x2+xz+xz+z2 = x2+2xz+z2

Si el binomio es x–z, entonces la operación será:

(x–z)2 = (x–z)(x–z) = (x)(x)+(x)( –z)+( –z)(x)+(z)(z)= x2–xz–xz+z2 = x2–2xz+z2

Aquí, es conveniente recordar algunos puntos importantes:

Todo número elevado al cuadrado, siempre da como resultado un número positivo: (a)(a) = a2; (–a)( –a)= a2

Todo exponente elevado a una potencia, se multiplica por la potencia a la que se eleva. En este caso, todos los exponentes elevados al cuadrado, se multiplican por 2: (a3)2 = a6; (–b4)2 = b8

El resultado de un binomio al cuadrado, siempre es un trinomio cuadrado perfecto. A este tipo de operaciones se les llama productos notables. En los productos notables, el resultado se puede obtener por inspección, es decir, sin hacer todas las operaciones de la ecuación. En el caso del binomio al cuadrado, el resultado se obtiene con las siguientes reglas de la inspección:

  1. Escribiremos el cuadrado del primer término.
  2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término.
  3. Sumaremos el cuadrado del segundo término.

Si aplicamos estas reglas a los ejemplos que usamos arriba, tendremos:

(x+z)2

  1. Escribiremos el cuadrado del primer término: x2
  2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término: 2xz
  3. Sumaremos el cuadrado del segundo término: z2.

El resultado es: x2+2xz+z2

(x–z)2

  1. Escribiremos el cuadrado del primer término: x2.
  2. Sumaremos el doble del primero por el segundo término: –2xz.
  3. Sumaremos el cuadrado del segundo término: z2.

El resultado es x2+(–2xz)+z2 = x2–2xz+z2

Como podemos observar, en el caso de que la operación de multiplicar el primer por el segundo término, sea un resultado negativo, es lo mismo que directamente restar el resultado. Recordemos que al sumar un número negativo, y reducir los signos, el resultado será restar el número.

 

Ejemplos de binomios al cuadrado:

 (4x3 – 2y2)2

El cuadrado del primer término: (4x3)2 = 16x6
El doble producto del primero por el segundo: 2 [(4x3)(–2y2)] = –16x3y2
El cuadrado del segundo término: (2y2)2 = 4y4
(4x3 – 2y2)2 = 16x6 –16x3y2+ 4y4
(5a3x4 – 3b6y2)2 = 25a6x8 – 30a3b6x4y2+ 9b12y4
(5a3x4 + 3b6y2)2 = 25a6x8 + 30a3b6x4y2+ 9b12y4
(– 5a3x4 – 3b6y2)2 = 25a6x8 + 30a3b6x4y2+ 9b12y4
(– 5a3x4 + 3b6y2)2 = 25a6x8 – 30a3b6x4y2+ 9b12y4
(6mx + 4ny)2 = 36m2n2 + 48mnxy + 16n2y2
(6mx – 4ny)2 = 36m2n2 – 48mnxy + 16n2y2
(–6mx + 4ny)2 = 36m2n2 – 48mnxy + 16n2y2
(–6mx – 4ny)2 = 36m2n2 + 48mnxy + 16n2y2
(4vt – 2ab)2 = 16v2t2 – 16abvt + 4a2b2
(–4vt + 2ab)2 = 16v2t2 – 16abvt + 4a2b2
(–4vt – 2ab)2 = 16v2t2 + 16abvt + 4a2b2
(4vt + 2ab)2 = 16v2t2 + 16abvt + 4a2b2
(3x5 + 8)2 = 9x10 + 48x5 + 64
(– 3x5 – 8)2 = 9x10 + 48x5 + 64
(– 3x5 + 8)2 = 9x10 – 48x5 + 64
(3x5 – 8)2 = 9x10 – 48x5 + 64
(3a3b – 3ab3)2 = 9a6b2 – 18a4b4 + 9a2b6
(3a3b + 3ab3)2 = 9a6b2 + 18a4b4 + 9a2b6
(– 3a3b – 3ab3)2 = 9a6b2 + 18a4b4 + 9a2b6
(–3a3b + 3ab3)2 = 9a6b2 – 18a4b4 + 9a2b6
(2a – 3b2)2 = 4a2 + 12 ab2 + 9b4
(2a + 3b2)2 = 4a2 + 12 ab2 + 9b4
(–2a + 3b2)2 = 4a2 – 12 ab2 + 9b4
(2a – 3b2)2 = 4a2 – 12 ab2 + 9b4

Citado APA: (A. 2012,12. Ejemplo de Binomio al Cuadrado. Revista Ejemplode.com. Obtenido 12, 2012, de http://www.ejemplode.com/5-matematicas/2534-ejemplo_de_binomio_al_cuadrado.html)

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Autor: Redacción Ejemplode.com, año 2017

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Comentarios:

  1. Cómo se resuelve esto (4x-5y)
    Por jhon 09.03.17 a las 15:31:30
    1. ¿Cómo resolver este problema?

      (x+4) al cuadrado - (x-2) al cuadrado
      Por vanessa 08.29.17 a las 0:14:11
      1. Cómo resuelvo este ejercicio de binomios al cuadrado a (4x-5y) elevado ala segunda.


        Por jhonny 08.16.17 a las 1:55:05
        1. ¿Cómo se resuelve esto (2a+b)²?
          Por maria 07.25.17 a las 18:52:20
          1. Cómo resolver 6a-9a5-18a+15a
            Por Jorge 05.30.17 a las 4:18:08
            1. Cómo puedo resolver

              (6×+y) (6×-y)
              Por Leslie lopez 05.13.17 a las 17:44:08
              1. esto me pide la profe, escribir como productos de binomios las siguientes diferencias de cuadrado

                P(X) =4X2 (EL 2 ES ELEVADO) - 81

                Q(X) =25x4_100

                R(X)=un cuarto - x2 al cuadrado
                Por Lucas 05.08.17 a las 2:51:10
                1. Cuál es el producto del siguiente binomio elevado al cuadrado (3P2 -4R2).
                  Por GILBERTO 04.24.17 a las 23:05:44
                  1. Quiero saber cómo se resuelve el siguiente binomio me puedes ayudar (x-6)+(x+3)=
                    Por Norma 03.31.17 a las 20:13:22
                    1. ¿Cuál es la regla de binomios al cuadrado positivos y negativos?
                      Por rios 02.23.17 a las 2:05:02
                      1. y si son (-b) (-b)
                        Por t 02.03.17 a las 17:21:56
                        1. ¿Cómo transformo un binomio al cuadrado en una ecuación cuadrática?
                          Por jesaltir 01.13.17 a las 2:02:23
                          1. Cómo resuelvo (5+m) es un cuadrado de un binomio.
                            Por jose 10.05.16 a las 14:50:30
                            1. Resolver (4x elevado al cubo,b elevado a la quinta, + 3x elevado a la cuarta , b ) :
                              Por Valen 09.23.16 a las 18:58:46
                              1. Como resuelvo( 2a-3b)2
                                Por karla 09.21.16 a las 4:18:58
                                1. ¿Cómo puedo resolver un binomio al cuadrado y=6p al cuadrado?
                                  Por Ceila Requena 09.21.16 a las 0:17:55
                                  1. ¿Cuál regla de los signos se usa en el producto de dos binomios?
                                    Por kim 09.20.16 a las 1:25:44
                                    1. Me gusta la información, me ayudó a resolver muchas dudas, los quiero mucho, gracias.
                                      Por Verónica GABRIELA Téllez Leal 09.13.16 a las 0:28:39
                                      1. Como puedo resolver (3xcuadrado - 2y) cuadrado
                                        Por Jose 09.10.16 a las 18:33:43
                                        1. ¿Cómo se resuelve (8m-1/10)2?
                                          Por Ale 09.07.16 a las 3:04:30
                                          1. Cómo resuelvo (2x^3-1)[18x^2(x^2+4)^2+(2x^3-1)(4x^3+16x)]
                                            Por Rita 09.05.16 a las 2:08:37
                                            1. ¿Cómo puedo resolver (a + 2)2?
                                              Por ingrid 08.25.16 a las 15:41:32
                                              1. Muy buena información, excelente desarrollo de la ecuación, soy profesor de Algebra, Trigonometría y Cálculo (Integral y diferencial).
                                                Por Fernando 08.25.16 a las 15:40:20
                                                1. ¿Cómo realizo el siguiente ejercicio?

                                                  (-2x+3y)²

                                                  Gracias.
                                                  Por Socorro 07.21.16 a las 5:44:52
                                                  1. (m^2x+2m^x n^y+n^2y)
                                                    Por matias 05.08.16 a las 2:33:37
                                                    1. ¿Cómo factorizo el polinomio 4x cuadrado - 1?
                                                      ¡Gracias!
                                                      Por Paula 03.01.16 a las 17:59:53
                                                      1. Cuando el primer término es negativo, es lo mismo, se pone al cuadrado.

                                                        Gracias
                                                        Por laura 02.25.16 a las 1:58:39
                                                        1. Cuando los términos tienen exponentes con literales.

                                                          Ejemplo:

                                                          (m^x + n^y)^2
                                                          Por marlene 10.17.15 a las 2:50:04
                                                          1. ¿Cómo puedo resolver un binomio al cuadrado?
                                                            Por ade 09.10.15 a las 2:44:39
                                                            1. Gracias por la información.
                                                              Por Luna 10.22.14 a las 9:55:11

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