Ejemplo de Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva es una propiedad de la multiplicación que nos dice que si multiplicamos un número por otro, el resultado es el mismo que si multiplicamos el primer número por la suma o la resta que da como resultado el segundo número.

Para expresar una multiplicación con propiedad distributiva, utilizamos los paréntesis.

Por ejemplo, si tenemos la multiplicación:

6 X 9 = 54

Sabemos que el número 9 es el resultado de la suma de 5 + 4. Aplicando la propiedad distributiva, la multiplicación se expresará así:

6(5+4)

Esto significa que multiplicaremos el número 6 por cada uno de los miembros de la suma, y luego realizaremos la suma:

6(5+4) = (6X5) + (6X4) = 30 + 24 = 54

Y cómo vemos, obtenemos el mismo resultado. La propiedad distributiva también se aplica con restas:

6(10–1) = (6X10) – (6X1) = 60 – 6 = 54

Esta propiedad distributiva, también se usa para obtener el producto de dos suma o restas, o de una suma y una resta. En estos casos, cada uno de los miembros de la primera operación se multiplica por cada uno de los miembros de la segunda operación, y después se realizan las operaciones:

(5+2)(3+4) = (5X3)+(5X4)+(2X3)+(2X4) = 15+20+6+8 = 49

Realizando primero las operaciones del paréntesis: 7 X 7 = 49

(7–3)(6–2) = (7X6)+(7X–2)+(–3X6)+(–3X–2) = 42–14–18+6=16

Realizando primero las operaciones del paréntesis: 4 X 4= 16

La propiedad distributiva es útil sobre todo para calcular número muy grandes, así como en álgebra.

Si tenemos un número complejo, como por ejemplo 5648, y queremos multiplicarlo por 8, podemos descomponer 5648 en notación decimal, multiplicar los componentes por 8, y luego realizar la suma:

8(5000+600+40+8) = (8X5000)+(8X600)+(8X40)+(8X8) = 40000+4800+320+16 = 45136.

En álgebra muchos valores numéricos se sustituyen por valores literales (expresados con letras), así como valores con exponentes, y aquí es muy útil la propiedad distributiva. Se siguen las mismas reglas que ya explicamos:

(a+3ab+c)(b–2) = (ab)+(–2a)+(3ab²)+(–6ab)+(bc)+(–2c) = [Ordenamos y reducimos los signos] –2a+ab–6ab+3ab²+bc–2c = –2a–5ab+3ab²+bc–2c [observa que redujimos los términos comunes que tienen las literales ab]

Ejemplos de propiedad distributiva:

Sergio tiene 7 alcancías, y en cada una de ellas ha depositado la misma cantidad de monedas y billetes. En cada una ha puesto 3 billetes de 10 pesos, y 4 monedas de 5 pesos. Eso significa que en cada alcancía ha puesto 30 pesos en billetes, y 20 pesos en monedas. Para calcular cuánto dinero ha guardado en total en sus alcancías, realiza el siguiente cálculo:

(30+20)7 = (30X7)+(20X7) = 210 + 140 = 350

Es decir, que primero multiplicó el total de dinero que puso en billetes por el total de alcancías, y luego multiplicó el total del dinero en monedas por el total de alcancías, y después sumó los resultados.

Su hermano Esteban hace el cálculo sumando el total de lo que puso en cada alcancía y luego multiplicándolo por el total de alcancías:

30 pesos en billetes de 10, y 20 pesos en monedas de 5: 30+20 =50

Multiplicamos el total de cada alcancía por el total de alcancías: 50 X 7 = 350

Como vemos, ambos llegaron al mismo resultado. 

• (4+2)3 = (4 x 3) + (2 x 3) = 12 + 6 = 18
• (6 + 9)10 = (6 x 10) + (9 x 10) = 60 + 90= 150
• 5x(3 – 4) = ((5 x)(3)) + ((5x)(–4)) = 15x – 20x = –5x
• (3 + 9)9 = (3 X 9) + (9 X 9) = 27 + 81 = 108
• 2(5 + 7) = (2 X 5) + (2 X 7) = 24
• (8+5)(5+7) = (8X5)+(8X7)+(5X5)+(5X7) = 40+56+25+35 = 156
• (11–3)(8–3) = (11X8)+(11X–3)+(–3X8)+(–3X–3) = 88–33–24+9=40
• (a+2b+c)3 = (3a)+(6b)+(3c) = 3ª+6b+3c
• (a+b)(a–b) = [(a)(a)]+[(a)(–b)]+[(b)(a)]+[(b)(–b)] = [a²]+[–ab]+[ab]+[–b²] = a²–b²
• (a–b–c)(a²+3ab+4b²+c) = (a³) + (3a²b) + (4ab²) + (ac) + (–a²b) + (–3ab²) + (–4b³) + (–bc) + (–a²c) + (–3abc) + (–4 b²c) + (–c²) = a³ + 3a²b + 4ab² + ac – a²b – 3ab² – 4b³ – bc – a²c – 3abc – 4b²c – c² = a³ + 2a²b + ab² – 4b³ + ac  – bc – 3abc – a²c – 4b²c – c²

Si sumamos dos números y después multiplicamos el resultado por otro número, obtenemos idéntico resultado que si multiplicamos cada uno de los sumandos por un mismo número y después sumamos los productos obtenidos.

Ejemplos de propiedad distributiva:

Sergio cuenta todo el dinero que guardó en sus alcancías y realiza el siguiente cálculo:
(30+20) x 7= 350
Sumó el valor de tres billetes (30) y el de dos monedas (20), y multiplicó el resultado por 7.

20 x 7 + 30 x 7 = 140 + 210 = 350
En este caso multiplicó el valor de las monedas (20) por siete y multiplicó el valor de los billetes (30), y sumó ambos resultados. Llegó a la conclusión que en las dos situaciones el resultado final es el mismo.

En la propiedad distributiva el producto de una suma o adición por un número es igual a la suma de los productos de cada uno de los sumandos por el mismo número.

Otros ejemplos de la propiedad distributiva:

1)    (4+2) x 3= 4 x 3 + 2 x 3 = 18
2)    (6 + 9 ) x 10 = 6 x 10 + 9 x 10 = 150
3)    5 x ( 3 + 4 ) = 5 x 3 + 5 x 4 = 35
4)    (3 + 9) x 9 = 3 x 9 + 9 x 9 = 108
5)    2 x (5 + 7) = 2 x 5 + 2 x 7 = 24

Ten presente que en la propiedad distributiva los signos de (+) y de (-) separan los términos. Y se resuelven primero las operaciones que están dentro de los paréntesis.