Serie Aritmética

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Autor: Redacción Ejemplode.com, año 2018

Una Serie Aritmética es la sumatoria de todos los términos de una Sucesión Aritmética. Si se trata de una Sucesión Aritmética infinita, se especifica hasta qué término se va a hacer la suma.

Una Serie es la suma de una Sucesión, y puede ser de dos tipos dependiendo del número de términos contenidos en la Sucesión:

Serie Finita: es la suma de una Sucesión Finita, es decir, que tiene un número establecido de términos. Por ejemplo:

{ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 }

{ 3 + 6 + 9 + 12 + 15 }

{ 4 + 8 + 12 + 16 + 20 }

Serie infinita: es la suma de una Sucesión infinita, es decir, que tiene un número ilimitado de términos. Por ejemplo:

{ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … }

{ 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … }

{ 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + …}

La Serie Aritmética, siendo la suma de los términos de una Sucesión Aritmética, se puede calcular con las ecuaciones:

Formulas de la Serie Aritmetica

Donde:

sa = Serie ó suma de los términos de la Sucesión Aritmética.

n = Número de términos que se van a sumar.

a1 = Primer término de la Sucesión Aritmética.

an = Término que marca la última posición en la Sucesión.

d = Diferencia constante que se añade de un término a otro.

Ambas fórmulas son efectivas para conocer la suma de los términos de toda Sucesión Aritmética, hasta la posición que se requiera. Puede ser de los primeros cinco términos, de los primeros diez, o incluso de los primeros doscientos términos; los que sean.

Por su practicidad, es más utilizada la primera fórmula. Para conseguir utilizarla, es necesario primero obtener el término final an cuya posición se indica en el problema.

Ejemplos de Series Aritméticas

1.- De la Sucesión Aritmética { 5, 9, 13, 17,… } obtener la suma de los primeros 20 términos.

Primero obtenemos el término a20:

an = a1 + (n – 1)d

d = 9 – 5 = 4

a1 = 5

n = 20

a20 = (5) + (20 – 1)4

a20 = 81

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a20:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 20 (5 + 81) ] / 2

sa = 860

2.- De la Sucesión Aritmética { 3, 10, 17,… } obtener la suma de los primeros 63 términos.

Primero obtenemos el término a63:

an = a1 + (n – 1)d

d = 10 – 3 = 7

a1 = 3

n = 63

a63 = (3) + (63 – 1)7

a63 = 437

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a63:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 63 (3 + 437) ] / 2

sa = 13860

3.- De la Sucesión Aritmética { 3, -1, -5,… } obtener la suma de los primeros 13 términos.

Primero obtenemos el término a13:

an = a1 + (n – 1)d

d = -1 – 3 = - 4

a1 = 3

n = 13

a13 = (3) + (13 – 1)(-4)

a13 = -45

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a13:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 13 (3 - 45) ] / 2

sa = -273

4.- De la Sucesión Aritmética { ½, ¾ , 1,… } obtener la suma de los primeros 12 términos.

Primero obtenemos el término a12:

an = a1 + (n – 1)d

d = ¾ – ½ = ¼

a1 = ½

n = 12

a12 = (1/2) + (12 – 1)(1/4)

a12 = 13/4

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a12:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 12 ( ½  + 13/4) ] / 2

sa = 22 ½

5.- De la Sucesión Aritmética { 7, 10, 13,… } obtener la suma de los primeros 9 términos.

Primero obtenemos el término a9:

an = a1 + (n – 1)d

d = 10 – 7 = 3

a1 = 7

n = 9

a9 = (7) + (9 – 1)3

a9 = 31

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a9:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 9 (7 + 31) ] / 2

sa = 171

6.- De la Sucesión Aritmética { 3, 14, 25,… } obtener la suma de los primeros 21 términos.

Primero obtenemos el término a21:

an = a1 + (n – 1)d

d = 14 – 3 = 11

a1 = 3

n = 21

a21 = (3) + (21 – 1)11

a21 = 223

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a21:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 21 (3 + 223) ] / 2

sa = 2373

7.- De la Sucesión Aritmética { -10, -6, -2,… } obtener la suma de los primeros 80 términos.

Primero obtenemos el término a80:

an = a1 + (n – 1)d

d = -6 – (-10) = 4

a1 = -10

n = 80

a80 = (-10) + (80 – 1)4

a80 = 306

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a80:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 80 (-10 + 306) ] / 2

sa = 11840

8.- De la Sucesión Aritmética { -5, -13, -21,… } obtener la suma de los primeros 50 términos.

Primero obtenemos el término a50:

an = a1 + (n – 1)d

d = -13 – (-5) = (-8)

a1 = -5

n = 50

a50 = (-5) + (50 – 1)(-8)

a50 = -397

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a50:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 50 (-5 -397) ] / 2

sa = -10050

9.- De la Sucesión Aritmética { 2, 7, 12,… } obtener la suma de los primeros 14 términos.

Primero obtenemos el término a14:

an = a1 + (n – 1)d

d = 7 – 2 = 5

a1 = 2

n = 14

a14 = (2) + (14 – 1)5

a14 = 67

Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a14:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 14 (2 + 67) ] / 2

sa = 483

10.- De la Sucesión Aritmética { 10, 21, 32,… } obtener la suma de los primeros 46 términos.

Primero obtenemos el término a46:

an = a1 + (n – 1)d

d = 21 – 10 = 11

a1 = 10

n = 46

a46 = (10) + (46 – 1)11

a46 = 505

 Ahora obtenemos la sumatoria desde a1 hasta a46:

sa = [ n (a1 + an) ] / 2

sa = [ 46 (10 + 505) ] / 2

sa = 11845

Citado APA: (A. 2018,03. Serie Aritmética. Revista Ejemplode.com. Obtenido 03, 2018, de http://www.ejemplode.com/5-matematicas/4925-serie_aritmetica.html)

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