EJEMPLOS DE MATEMÁTICAS

Binomio de Newton: fórmula y ejemplos

Construye los coeficientes en vez de memorizarlos y organiza exponentes y signos antes de desarrollar cada potencia.

Editorial Ejemplode 9 min Nivel avanzado
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El binomio de Newton desarrolla (A + B)ⁿ en n + 1 términos. Los coeficientes se construyen con el triángulo de Pascal o se calculan mediante C(n,k); el exponente de A baja mientras el de B sube y ambos suman n. En una diferencia, B debe conservar su signo negativo completo.

    El binomio de Newton, o teorema binomial, permite desarrollar una potencia de dos términos sin multiplicar el binomio una y otra vez. Para usarlo hay que coordinar tres elementos: coeficientes, exponentes y signo.

    No conviene memorizar filas largas del triángulo de Pascal. Cada fila puede construirse a partir de la anterior, y un coeficiente aislado puede calcularse con C(n,k).

    La fórmula, leída por partes

    • n: es la potencia y determina la fila de Pascal.
    • k: indica la posición; empieza en 0.
    • C(n,k): es el coeficiente de esa posición.
    • Aⁿ⁻ᵏ y Bᵏ: hacen que el exponente de A baje y el de B suba.

    Si necesitas reconocer primero la expresión, consulta binomios.

    Cómo construir la siguiente fila de Pascal

    La construcción, la simetría y otros patrones se explican en el triángulo de Pascal.

    Cada fila comienza y termina en 1. Los números interiores se obtienen sumando dos vecinos de la fila anterior.

    Fila 6: 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
    Fila 7: 1, 1 + 6, 6 + 15, 15 + 20, 20 + 15, 15 + 6, 6 + 1, 1
    Resultado: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1

    La fila 8 se construye del mismo modo: 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. Así, 70 no aparece por memoria: procede de 35 + 35.

    Cómo calcular un coeficiente sin construir toda la fila

    C(n,k) = n!/[k!(n − k)!]

    El signo ! indica factorial: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 y 0! = 1. Por ejemplo, C(7,2) = 7!/[2!5!] = (7 · 6)/(2 · 1) = 21. Usa Pascal cuando necesitas toda la fila y C(n,k) cuando solo buscas una posición.

    Qué se resuelve primero

    1. Identifica n, A y B; si hay resta, escribe B con su signo negativo.
    2. Construye la fila n de Pascal o calcula el coeficiente C(n,k) que necesitas.
    3. Escribe n + 1 posiciones antes de simplificar.
    4. Haz bajar el exponente de A desde n hasta 0 y subir el de B desde 0 hasta n.
    5. Multiplica coeficientes, signos y potencias dentro de cada término.
    6. Comprueba el número de términos y que los exponentes de cada producto sumen n.

    Los primeros patrones se trabajan en binomio al cuadrado y binomio al cubo.

    10 ejemplos explicados paso a paso

    Cada ejemplo separa la decisión sobre coeficientes, el patrón de exponentes, la simplificación y una comprobación.

    Ejemplo 1

    Construcción de la fila 4

    Cada número interior suma dos vecinos de la fila anterior.

    1. Observa: La fila 3 es 1, 3, 3, 1.
    2. Primera decisión: Conserva un 1 en cada extremo.
    3. Suma vecinos: 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6 y 3 + 1 = 4.
    4. Construye: La fila 4 es 1, 4, 6, 4, 1.
    5. Comprueba: La fila es simétrica y tiene 4 + 1 = 5 coeficientes.
    Ejemplo 2

    Potencia cuarta

    La fila 4 se combina con exponentes complementarios.

    1. Identifica: n = 4, A = x y B = y.
    2. Coeficientes: Usa la fila 4: 1, 4, 6, 4, 1.
    3. Exponentes: Los de x bajan 4, 3, 2, 1, 0; los de y suben 0, 1, 2, 3, 4.
    4. Desarrolla: Forma x⁴, 4x³y, 6x²y², 4xy³ y y⁴.
    5. Comprueba: Hay cinco términos y los exponentes de cada producto suman 4.
    Ejemplo 3

    Construcción de la fila 7

    La fila 7 se deriva de la fila 6; no se memoriza.

    1. Observa: La fila 6 es 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1.
    2. Primera decisión: Escribe 1 en ambos extremos de la nueva fila.
    3. Suma vecinos: 1 + 6 = 7; 6 + 15 = 21; 15 + 20 = 35.
    4. Completa: Por simetría continúan 35, 21, 7 y el 1 final.
    5. Comprueba: La fila tiene ocho coeficientes, los necesarios para una potencia séptima.
    Ejemplo 4

    Construcción de la fila 8

    El coeficiente 70 aparece al sumar 35 + 35.

    1. Observa: Parte de la fila 7: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.
    2. Primera decisión: Mantén 1 en los extremos.
    3. Suma vecinos: 1 + 7 = 8; 7 + 21 = 28; 21 + 35 = 56.
    4. Centro: 35 + 35 = 70; después refleja 56, 28 y 8.
    5. Comprueba: Hay nueve coeficientes y la fila es simétrica.
    Ejemplo 5

    Segundo término igual a uno

    Las potencias de 1 desaparecen al simplificar.

    1. Identifica: n = 4, A = x y B = 1.
    2. Coeficientes: Usa 1, 4, 6, 4, 1.
    3. Monta: Escribe x⁴, 4x³(1), 6x²(1²), 4x(1³) y 1⁴.
    4. Simplifica: Toda potencia de 1 vale 1.
    5. Comprueba: El resultado tiene cinco términos y al sustituir x = 1 suma 16 = 2⁴.
    Ejemplo 6

    Constante dos

    Cada coeficiente se multiplica por una potencia distinta de 2.

    1. Identifica: n = 4, A = x y B = 2.
    2. Coeficientes: Usa la fila 1, 4, 6, 4, 1.
    3. Monta: x⁴ + 4x³(2) + 6x²(2²) + 4x(2³) + 2⁴.
    4. Simplifica: Obtén x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16.
    5. Comprueba: Con x = 0, ambos lados valen 16.
    Ejemplo 7

    Coeficiente dentro de A

    Debe elevarse todo 2x, no solo x.

    1. Identifica: n = 4, A = 2x y B = y.
    2. Coeficientes: Usa 1, 4, 6, 4, 1.
    3. Monta: (2x)⁴ + 4(2x)³y + 6(2x)²y² + 4(2x)y³ + y⁴.
    4. Simplifica: (2x)⁴ = 16x⁴, 4(2x)³y = 32x³y y los demás términos siguen el mismo patrón.
    5. Comprueba: En cada término, los grados de x y y suman 4.
    Ejemplo 8

    Diferencia a la quinta

    Los signos alternan porque B completo es −b.

    1. Identifica: n = 5, A = a y B = −b.
    2. Coeficientes: La fila 5 es 1, 5, 10, 10, 5, 1.
    3. Signos: Las potencias impares de −b son negativas y las pares son positivas.
    4. Desarrolla: Combina la fila con a⁵⁻ᵏ(−b)ᵏ para k de 0 a 5.
    5. Comprueba: Los signos quedan +, −, +, −, +, − y cada par de exponentes suma 5.
    Ejemplo 9

    Coeficiente y diferencia

    Se controlan simultáneamente potencias de 2 y signos de −n.

    1. Identifica: n = 4, A = 2m y B = −n.
    2. Coeficientes: Usa 1, 4, 6, 4, 1.
    3. Monta: (2m)⁴ + 4(2m)³(−n) + 6(2m)²(−n)² + 4(2m)(−n)³ + (−n)⁴.
    4. Simplifica: Las potencias de 2 producen 16, 32, 24 y 8; las de −n alternan los signos.
    5. Comprueba: El último término es positivo porque (−n)⁴ = n⁴.
    Ejemplo 10

    Cálculo de un término aislado

    No hace falta desarrollar toda la potencia para hallar un término.

    1. Identifica: El cuarto término corresponde a k = 3 porque el primero usa k = 0.
    2. Coeficiente: C(6,3) = 6!/[3!3!] = 20.
    3. Exponentes: A lleva 6 − 3 = 3 y B lleva 3: a³(2b)³.
    4. Calcula: 20 · a³ · 8b³ = 160a³b³.
    5. Comprueba: Los exponentes 3 + 3 suman 6 y el coeficiente coincide con el centro de la fila 6.

    Binomio y multinomio

    Esta fórmula corresponde a dos términos. Para tres términos se necesita un patrón multinomial, como el que aparece al desarrollar un trinomio al cubo. La guía de polinomios mantiene separadas ambas rutas.

    Errores frecuentes

    • Usar una fila distinta del exponente n.
    • Tomar k = 1 para el primer término; la primera posición es k = 0.
    • Elevar solo la variable y olvidar el coeficiente: (2x)⁴ = 16x⁴.
    • Ignorar que, en una diferencia, B incluye el signo negativo.
    • Aplicar directamente la fórmula binomial a tres términos.

    Preguntas frecuentes

    ¿Cómo se construye una fila nueva de Pascal?

    Se coloca 1 en los extremos y cada entrada interior suma los dos vecinos de la fila anterior.

    ¿Tengo que memorizar las filas 7 y 8?

    No. Pueden construirse desde la fila anterior o calcularse sus coeficientes con C(n,k).

    ¿Cuándo conviene usar C(n,k)?

    Cuando solo se necesita un término o un coeficiente y no toda la expansión.

    ¿Por qué los signos alternan en una diferencia?

    Porque B es negativo y sus potencias pares son positivas mientras las impares son negativas.

    ¿Cuántos términos debe tener la expansión?

    Normalmente n + 1 antes de posibles simplificaciones o combinaciones.

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    ¿Cómo se obtiene un número interior de la siguiente fila de Pascal?

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    Cómo citar este artículo

    Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Binomio de Newton: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/binomio-de-newton/

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