Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de elevar un binomio al cuadrado. Sus extremos son cuadrados perfectos y el término central es el doble producto de sus raíces.
Patrones del trinomio cuadrado perfecto
El signo del término central indica si la factorización usa suma o diferencia. La página de binomio al cuadrado explica el proceso en sentido directo.
Cómo reconocerlo y factorizarlo
- Comprueba que el primer término sea un cuadrado perfecto.
- Comprueba que el tercero también lo sea.
- Obtén sus raíces A y B.
- Verifica que el centro sea +2AB o −2AB.
- Escribe (A + B)² o (A − B)².
No basta con que los extremos sean cuadrados: x² + 5x + 9 no es perfecto porque 5x no equivale a 2(x)(3). Para repasar la familia, consulta trinomios.
10 ejemplos explicados de trinomios cuadrados perfectos
Cada tarjeta comprueba los tres requisitos antes de factorizar.
Cuadrado con suma
6x = 2(x)(3).
- A = x y B = 3 a partir de x² y 9.
- Verifica 2AB = 2(x)(3) = 6x.
- Simplifica y ordena: (x + 3)².
- Identificación
- A = x y B = 3 a partir de x² y 9.
- Aplicación
- Verifica 2AB = 2(x)(3) = 6x.
- Resultado
- (x + 3)²
Cuadrado con diferencia
El signo central determina la resta.
- A = x y B = 5 a partir de x² y 25.
- Verifica −2AB = −10x.
- Simplifica y ordena: (x − 5)².
- Identificación
- A = x y B = 5 a partir de x² y 25.
- Aplicación
- Verifica −2AB = −10x.
- Resultado
- (x − 5)²
Constante cuatro
8a es el doble producto de a y 4.
- A = a y B = 4.
- A² = a², B² = 16 y 2AB = 8a.
- Simplifica y ordena: (a + 4)².
- Identificación
- A = a y B = 4.
- Aplicación
- A² = a², B² = 16 y 2AB = 8a.
- Resultado
- (a + 4)²
Dos cuadrados con coeficiente
Las raíces de los extremos son 2x y 3.
- A = 2x y B = 3.
- 2AB = 2(2x)(3) = 12x.
- Simplifica y ordena: (2x + 3)².
- Identificación
- A = 2x y B = 3.
- Aplicación
- 2AB = 2(2x)(3) = 12x.
- Resultado
- (2x + 3)²
Coeficiente y signo negativo
−24y confirma la diferencia.
- A = 3y y B = 4.
- −2AB = −2(3y)(4) = −24y.
- Simplifica y ordena: (3y − 4)².
- Identificación
- A = 3y y B = 4.
- Aplicación
- −2AB = −2(3y)(4) = −24y.
- Resultado
- (3y − 4)²
Dos variables
Los extremos son cuadrados de m y 7n.
- A = m y B = 7n.
- 2AB = 14mn.
- Simplifica y ordena: (m + 7n)².
- Identificación
- A = m y B = 7n.
- Aplicación
- 2AB = 14mn.
- Resultado
- (m + 7n)²
Coeficientes en ambos extremos
2(5a)(2b) = 20ab.
- A = 5a y B = 2b.
- Comprueba A² = 25a², B² = 4b² y 2AB = 20ab.
- Simplifica y ordena: (5a + 2b)².
- Identificación
- A = 5a y B = 2b.
- Aplicación
- Comprueba A² = 25a², B² = 4b² y 2AB = 20ab.
- Resultado
- (5a + 2b)²
Diferencia con dos variables
El término central es −2(4p)(5q).
- A = 4p y B = 5q.
- −2AB = −40pq.
- Simplifica y ordena: (4p − 5q)².
- Identificación
- A = 4p y B = 5q.
- Aplicación
- −2AB = −40pq.
- Resultado
- (4p − 5q)²
Potencia como raíz
La raíz del primer extremo es x².
- A = x² y B = 1.
- 2AB = 2x².
- Simplifica y ordena: (x² + 1)².
- Identificación
- A = x² y B = 1.
- Aplicación
- 2AB = 2x².
- Resultado
- (x² + 1)²
Coeficiente fraccionario
−2(½x)(y) = −xy.
- A = ½x y B = y.
- A² = ¼x², B² = y² y −2AB = −xy.
- Simplifica y ordena: (½x − y)².
- Identificación
- A = ½x y B = y.
- Aplicación
- A² = ¼x², B² = y² y −2AB = −xy.
- Resultado
- (½x − y)²
Trinomio cuadrado perfecto y trinomio al cuadrado
No son equivalentes. El cuadrado perfecto es el resultado de un binomio al cuadrado y se factoriza en dos términos. En el trinomio al cuadrado se eleva una expresión de tres términos y el desarrollo puede tener hasta seis términos antes de simplificar.
La guía de polinomios organiza ambas intenciones sin mezclarlas.
Errores frecuentes
- Factorizar solo porque los extremos son cuadrados.
- No comprobar el doble producto central.
- Tomar el signo del último término para decidir la suma o resta.
- Olvidar extraer la raíz del coeficiente.
- Confundir este patrón con una diferencia de cuadrados.
Preguntas frecuentes
¿Qué se revisa primero?
Que el primer y el tercer término sean cuadrados perfectos.
¿Cómo se verifica el centro?
Debe ser exactamente dos veces el producto de las raíces de los extremos.
¿Puede tener término central negativo?
Sí. Entonces se factoriza como (A − B)².
¿Todo trinomio con extremos cuadrados es perfecto?
No. También debe cumplirse la condición del término central.
¿Cómo se comprueba la factorización?
Desarrolla el binomio al cuadrado y verifica que recuperas el trinomio.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
¿Cuál es el patrón de suma?
Pregunta 2 de 10
¿Cuál es el patrón de diferencia?
Pregunta 3 de 10
¿Cómo se factoriza x² + 6x + 9?
Pregunta 4 de 10
¿Cómo se factoriza x² − 10x + 25?
Pregunta 5 de 10
¿Qué se verifica después de los extremos?
Pregunta 6 de 10
¿Es x² + 5x + 9 cuadrado perfecto?
Pregunta 7 de 10
¿Qué signo usa la factorización si el centro es negativo?
Pregunta 8 de 10
¿Cuál es la raíz de 25a²?
Pregunta 9 de 10
¿Es lo mismo que elevar un trinomio al cuadrado?
Pregunta 10 de 10
¿Cómo se comprueba la respuesta?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Trinomio cuadrado perfecto: cómo reconocerlo y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/trinomio-cuadrado-perfecto/
Fuentes consultadas
- OpenStax, Elementary Algebra 2e: Factor Special ProductsPatrón, reconocimiento y factorización de trinomios cuadrados perfectos.
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