Elevar un trinomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. El resultado tiene dos grupos fáciles de controlar: los cuadrados de los tres términos y los productos de cada pareja, multiplicados por 2.
La identidad se aplica a términos completos. Si A = 2x o C = −y, el coeficiente y el signo forman parte del término y deben conservarse durante todo el desarrollo.
La fórmula organizada en dos grupos
Hay exactamente tres parejas: AB, AC y BC. Esta lista evita repetir una pareja u olvidar otra. Si todavía necesitas distinguir el número de términos, repasa los trinomios.
Qué se resuelve primero
- Asigna A, B y C, incluyendo coeficientes y signos.
- Calcula A², B² y C².
- Calcula 2AB, 2AC y 2BC.
- Reúne términos semejantes si los hay.
- Comprueba sustituyendo valores pequeños.
El patrón de dos términos aparece en el binomio al cuadrado. Para una potencia mayor continúa con el trinomio al cubo.
10 ejemplos explicados paso a paso
Cada solución separa los dos grupos de la identidad y termina con una comprobación numérica.
Variables y una constante
Los tres cuadrados y los tres productos dobles quedan separados.
- Identifica: A = x, B = y y C = 1.
- Grupo 1 · cuadrados: x² + y² + 1.
- Grupo 2 · productos dobles: 2xy + 2x + 2y.
- Reúne: x² + y² + 1 + 2xy + 2x + 2y.
- Comprueba: Con x = 1, y = 2: ambos lados valen 16.
Un término negativo
El signo de C cambia los productos que lo contienen.
- Identifica: A = x, B = y y C = −1.
- Grupo 1 · cuadrados: x² + y² + 1.
- Grupo 2 · productos dobles: 2xy − 2x − 2y.
- Reúne: x² + y² + 1 + 2xy − 2x − 2y.
- Comprueba: Con x = 2, y = 3: ambos lados valen 16.
Signo negativo en B
Cada producto conserva el signo de los factores completos.
- Identifica: A = x, B = −y y C = 2.
- Grupo 1 · cuadrados: x² + y² + 4.
- Grupo 2 · productos dobles: −2xy + 4x − 4y.
- Reúne: x² + y² + 4 − 2xy + 4x − 4y.
- Comprueba: Con x = 3, y = 1: ambos lados valen 16.
Tres variables
Es la identidad general sin sustituciones numéricas.
- Identifica: A = a, B = b y C = c.
- Grupo 1 · cuadrados: a² + b² + c².
- Grupo 2 · productos dobles: 2ab + 2ac + 2bc.
- Reúne: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
- Comprueba: Con a = 1, b = 2, c = 3: ambos lados valen 36.
Coeficiente dentro del término
Se eleva 2x completo y se usa completo en cada producto.
- Identifica: A = 2x, B = y y C = 3.
- Grupo 1 · cuadrados: 4x² + y² + 9.
- Grupo 2 · productos dobles: 4xy + 12x + 6y.
- Reúne: 4x² + y² + 9 + 4xy + 12x + 6y.
- Comprueba: Con x = 1, y = 2: ambos lados valen 49.
Coeficiente y signo
El término −p produce dos productos negativos.
- Identifica: A = m, B = 2n y C = −p.
- Grupo 1 · cuadrados: m² + 4n² + p².
- Grupo 2 · productos dobles: 4mn − 2mp − 4np.
- Reúne: m² + 4n² + p² + 4mn − 2mp − 4np.
- Comprueba: Con m = 1, n = 2, p = 3: ambos lados valen 4.
Un término ya es cuadrático
Después de aplicar la identidad se reducen términos semejantes.
- Identifica: A = x², B = x y C = 1.
- Grupo 1 · cuadrados: x⁴ + x² + 1.
- Grupo 2 · productos dobles: 2x³ + 2x² + 2x.
- Reúne: Al reunir x² + 2x² queda 3x².
- Comprueba: Con x = 1: ambos lados valen 9.
Dos términos negativos
El producto de −b por −c es positivo.
- Identifica: A = 3a, B = −b y C = −c.
- Grupo 1 · cuadrados: 9a² + b² + c².
- Grupo 2 · productos dobles: −6ab − 6ac + 2bc.
- Reúne: 9a² + b² + c² − 6ab − 6ac + 2bc.
- Comprueba: Con a = 2, b = 1, c = 2: ambos lados valen 9.
Coeficiente en C
El 2 de C se eleva y también aparece en dos productos.
- Identifica: A = p, B = q y C = 2r.
- Grupo 1 · cuadrados: p² + q² + 4r².
- Grupo 2 · productos dobles: 2pq + 4pr + 4qr.
- Reúne: p² + q² + 4r² + 2pq + 4pr + 4qr.
- Comprueba: Con p = 1, q = 2, r = 1: ambos lados valen 25.
Coeficiente fraccionario
La mitad también se eleva al cuadrado.
- Identifica: A = ½x, B = y y C = 1.
- Grupo 1 · cuadrados: ¼x² + y² + 1.
- Grupo 2 · productos dobles: xy + x + 2y.
- Reúne: ¼x² + y² + 1 + xy + x + 2y.
- Comprueba: Con x = 2, y = 1: ambos lados valen 9.
Cómo saber si no falta ningún término
Antes de simplificar deben aparecer tres cuadrados y tres productos dobles. Después pueden combinarse términos semejantes, como ocurre en (x² + x + 1)². Esta identidad no debe confundirse con reconocer un trinomio cuadrado perfecto. El mapa general está en polinomios.
Errores frecuentes
- Escribir solo A² + B² + C².
- Olvidar el factor 2 de los productos por parejas.
- Perder el signo de un término negativo.
- Elevar solo la variable y no su coeficiente.
- No reducir términos semejantes al final.
Preguntas frecuentes
¿Cuántos componentes tiene la identidad antes de simplificar?
Seis: tres cuadrados y tres productos dobles.
¿Por qué aparece 2AB?
Porque AB aparece una vez al multiplicar A por B y otra al multiplicar B por A.
¿El signo negativo se eleva?
Sí. El signo forma parte del término: (−B)² es positivo, pero los productos que contienen un solo signo negativo son negativos.
¿Siempre quedan seis términos?
No. Después de aplicar la identidad pueden reunirse términos semejantes.
¿Cómo se comprueba el resultado?
Sustituye valores sencillos y verifica que la expresión original y el desarrollo produzcan el mismo número.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
¿Cuál es el primer grupo de (A+B+C)²?
Pregunta 2 de 10
¿Cuál es el segundo grupo?
Pregunta 3 de 10
¿Cuántas parejas distintas forman A, B y C?
Pregunta 4 de 10
En (x+y−1)², ¿cuánto vale C?
Pregunta 5 de 10
¿Cuál es (2x)²?
Pregunta 6 de 10
¿Qué producto es 2(2x)(3)?
Pregunta 7 de 10
En (3a−b−c)², ¿qué signo tiene 2(−b)(−c)?
Pregunta 8 de 10
¿Qué se hace después de calcular los seis componentes?
Pregunta 9 de 10
¿Qué comprobación es útil?
Pregunta 10 de 10
Si faltó 2AC, ¿el desarrollo está completo?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Trinomio al cuadrado: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/trinomio-al-cuadrado/
Fuentes consultadas
- OpenStax, Elementary Algebra 2e: Multiply PolynomialsMultiplicación distributiva y reducción de términos semejantes.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions: Multinomial CoefficientsCoeficientes multinomiales para desarrollar potencias de tres términos.
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