EJEMPLOS DE MATEMÁTICAS

Trinomio al cubo: fórmula y ejemplos

Controla los diez componentes del desarrollo agrupándolos en tres cubos, seis productos por pares y un producto triple.

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Editorial Ejemplode 7 min Nivel básico
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El cubo de A + B + C se organiza en tres grupos: A³ + B³ + C³; seis términos de la forma 3A²B; y 6ABC. Agruparlos permite aplicar signos y coeficientes sin intentar memorizar una línea continua de diez componentes.

    El cubo de un trinomio contiene diez componentes antes de reunir términos semejantes. La fórmula parece extensa, pero se vuelve manejable si se divide en tres grupos con funciones distintas.

    No conviene copiarla como una sola cadena. Identifica primero A, B y C completos; después construye cada grupo y controla los signos dentro de él.

    Trinomio al cubo: explicación visual paso a paso

    La fórmula organizada en tres grupos

    A³ + B³ + C³Grupo 1: tres cubos.3A²B + 3A²C + 3AB² + 3AC² + 3B²C + 3BC²Grupo 2: dos orientaciones por cada pareja.6ABCGrupo 3: los tres términos juntos.

    En cada pareja aparecen dos orientaciones: A²B y AB²; A²C y AC²; B²C y BC². Repasa antes los trinomios y el trinomio al cuadrado.

    Qué se resuelve primero

    1. Asigna A, B y C con sus coeficientes y signos.
    2. Calcula A³, B³ y C³.
    3. Escribe las dos orientaciones de cada pareja y multiplícalas por 3.
    4. Calcula 6ABC.
    5. Reúne términos semejantes y comprueba el resultado.

    10 ejemplos explicados paso a paso

    Las soluciones nombran A, B y C, construyen los tres grupos y verifican el resultado con números sencillos.

    Ejemplo 1

    Tres variables positivas

    La fórmula general produce diez componentes.

    1. Identifica: A = x, B = y y C = z.
    2. Grupo 1 · tres cubos: x³ + y³ + z³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 3x²y + 3x²z + 3xy² + 3xz² + 3y²z + 3yz².
    4. Grupo 3 · producto triple: 6xyz.
    5. Comprueba: Con x = 1, y = 2, z = 3: ambos lados valen 216.
    Ejemplo 2

    C es negativo

    Las potencias y productos impares de −z conservan signo negativo.

    1. Identifica: A = x, B = y y C = −z.
    2. Grupo 1 · tres cubos: x³ + y³ − z³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 3x²y − 3x²z + 3xy² + 3xz² − 3y²z + 3yz².
    4. Grupo 3 · producto triple: −6xyz.
    5. Comprueba: Con x = 3, y = 2, z = 1: ambos lados valen 64.
    Ejemplo 3

    B es negativo

    El signo pertenece al término completo B = −y.

    1. Identifica: A = x, B = −y y C = z.
    2. Grupo 1 · tres cubos: x³ − y³ + z³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: −3x²y + 3x²z + 3xy² + 3xz² + 3y²z − 3yz².
    4. Grupo 3 · producto triple: −6xyz.
    5. Comprueba: Con x = 3, y = 1, z = 2: ambos lados valen 64.
    Ejemplo 4

    Constante uno

    Las potencias de 1 se simplifican.

    1. Identifica: A = a, B = b y C = 1.
    2. Grupo 1 · tres cubos: a³ + b³ + 1.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 3a²b + 3a² + 3ab² + 3b² + 3a + 3b.
    4. Grupo 3 · producto triple: 6ab.
    5. Comprueba: Con a = 1, b = 2: ambos lados valen 64.
    Ejemplo 5

    Coeficiente en B

    Debe elevarse y multiplicarse el término 2y completo.

    1. Identifica: A = x, B = 2y y C = z.
    2. Grupo 1 · tres cubos: x³ + 8y³ + z³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 6x²y + 3x²z + 12xy² + 3xz² + 12y²z + 6yz².
    4. Grupo 3 · producto triple: 12xyz.
    5. Comprueba: Con x = 1, y = 1, z = 2: ambos lados valen 125.
    Ejemplo 6

    Coeficiente en A

    Las potencias de 2 afectan a todos los términos que contienen A.

    1. Identifica: A = 2a, B = b y C = c.
    2. Grupo 1 · tres cubos: 8a³ + b³ + c³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 12a²b + 12a²c + 6ab² + 6ac² + 3b²c + 3bc².
    4. Grupo 3 · producto triple: 12abc.
    5. Comprueba: Con a = 1, b = 2, c = 1: ambos lados valen 125.
    Ejemplo 7

    Coeficiente en C

    Los seis productos por pares se organizan por parejas de variables.

    1. Identifica: A = m, B = n y C = 2p.
    2. Grupo 1 · tres cubos: m³ + n³ + 8p³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 3m²n + 6m²p + 3mn² + 12mp² + 6n²p + 12np².
    4. Grupo 3 · producto triple: 12mnp.
    5. Comprueba: Con m = 1, n = 1, p = 1: ambos lados valen 64.
    Ejemplo 8

    Constante dos

    Los términos lineales nacen de productos que contienen 2².

    1. Identifica: A = x, B = y y C = 2.
    2. Grupo 1 · tres cubos: x³ + y³ + 8.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 3x²y + 6x² + 3xy² + 6y² + 12x + 12y.
    4. Grupo 3 · producto triple: 12xy.
    5. Comprueba: Con x = 1, y = 2: ambos lados valen 125.
    Ejemplo 9

    Dos términos negativos

    El producto triple es positivo porque contiene dos signos negativos.

    1. Identifica: A = p, B = −q y C = −r.
    2. Grupo 1 · tres cubos: p³ − q³ − r³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: −3p²q − 3p²r + 3pq² + 3pr² − 3q²r − 3qr².
    4. Grupo 3 · producto triple: 6pqr.
    5. Comprueba: Con p = 5, q = 1, r = 2: ambos lados valen 8.
    Ejemplo 10

    Coeficiente y signo

    Se controlan a la vez las potencias de 2 y el signo de −c.

    1. Identifica: A = a, B = 2b y C = −c.
    2. Grupo 1 · tres cubos: a³ + 8b³ − c³.
    3. Grupo 2 · seis productos por pares: 6a²b − 3a²c + 12ab² + 3ac² − 12b²c + 6bc².
    4. Grupo 3 · producto triple: −12abc.
    5. Comprueba: Con a = 1, b = 2, c = 1: ambos lados valen 64.

    Comprobación completa mediante T² · T

    Sea T = x + y + z. Primero, T² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz. Luego se multiplica ese resultado por cada término de T:

    xT² = x³ + xy² + xz² + 2x²y + 2x²z + 2xyz
    yT² = x²y + y³ + yz² + 2xy² + 2xyz + 2y²z
    zT² = x²z + y²z + z³ + 2xyz + 2xz² + 2yz²

    Al sumar columnas semejantes aparecen tres cubos, seis términos con coeficiente 3 y 2xyz + 2xyz + 2xyz = 6xyz. Así se obtiene la misma identidad sin memorizarla a ciegas.

    Relación con otros desarrollos

    El binomio de Newton organiza potencias de dos términos; el trinomio al cubo sigue un patrón multinomial. Consulta el mapa de polinomios para elegir el procedimiento adecuado.

    Errores frecuentes

    • Olvidar una de las dos orientaciones de una pareja.
    • Usar coeficiente 3 en el producto triple; debe ser 6.
    • Perder signos al elevar o multiplicar términos negativos.
    • Elevar solo la variable y olvidar el coeficiente.
    • No comprobar el resultado con T² · T o una sustitución.

    Preguntas frecuentes

    ¿Por qué hay diez componentes?

    Hay tres cubos, seis productos por pares y un producto triple.

    ¿Por qué cada pareja aparece dos veces?

    Porque una vez se eleva al cuadrado el primer término y otra el segundo.

    ¿Por qué el producto triple lleva 6?

    Al multiplicar aparecen las seis permutaciones de A, B y C.

    ¿Cómo se puede verificar la fórmula?

    Calcula primero T² y después multiplica T² por T, reuniendo términos semejantes.

    ¿El binomio de Newton se aplica directamente?

    No. Esa fórmula es para dos términos; con tres se usa un patrón multinomial.

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    Cómo citar este artículo

    Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Trinomio al cubo: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/trinomio-al-cubo/

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