EJEMPLOS DE MATEMÁTICAS

Triángulo de Pascal: cómo se construye y ejemplos

Construye cada fila sumando vecinos, reconoce su simetría y usa sus entradas como coeficientes binomiales.

Editorial Ejemplode 7 min Nivel intermedio
Respuesta rápida

El triángulo de Pascal empieza con 1. Cada fila inicia y termina en 1, y cada número interior es la suma de los dos que están encima. La fila n contiene los coeficientes de (A+B)ⁿ.

    El triángulo de Pascal es una disposición triangular de coeficientes binomiales. Numerando la cima como fila 0, las primeras filas son 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1. Cada entrada interior se construye con dos vecinos de la fila anterior.

    Esta página se concentra en la construcción y los patrones del triángulo. El procedimiento completo para desarrollar potencias corresponde al binomio de Newton.

    Cómo construir una fila

    1. Escribe 1 en el extremo izquierdo.
    2. Suma cada par de entradas contiguas de la fila anterior.
    3. Coloca cada suma entre sus dos entradas de origen.
    4. Escribe 1 en el extremo derecho.
    5. Comprueba que la fila sea simétrica y tenga n+1 entradas.

    Las filas 2 y 3 explican los coeficientes del binomio al cuadrado y del binomio al cubo. El mapa de productos notables sitúa esos casos dentro de los patrones algebraicos.

    Primeras ocho filas

    111121133114641151010511615201561172135352171Filas 0 a 7 del triángulo de Pascal.
    Filas 0 a 7 del triángulo de Pascal.

    10 ejemplos explicados paso a paso

    Los diagramas resaltan las entradas que intervienen en cada construcción o propiedad.

    1

    Construir la fila 2

    1,1 → 1,2,1

    Se conservan los extremos y se suma el par superior.

    111121Se conservan los extremos y se suma el par superior.
    Se conservan los extremos y se suma el par superior.
    1. Extremos: Escribe 1 al principio y al final.
    2. Centro: Suma 1+1=2.
    3. Resultado: La fila 2 es 1,2,1.
    4. Revisa: Tiene 2+1=3 entradas.

    Comprobación: Se conservan los extremos y se suma el par superior.

    2

    Construir la fila 3

    1,2,1 → 1,3,3,1

    Cada nueva entrada interior usa vecinos contiguos.

    1111211331Cada nueva entrada interior usa vecinos contiguos.
    Cada nueva entrada interior usa vecinos contiguos.
    1. Extremos: Conserva los unos.
    2. Primer interior: 1+2=3.
    3. Segundo interior: 2+1=3.
    4. Resultado: 1,3,3,1.

    Comprobación: Cada nueva entrada interior usa vecinos contiguos.

    3

    Construir la fila 4

    1,3,3,1 → 1,4,6,4,1

    El valor central procede de 3+3.

    111121133114641El valor central procede de 3+3.
    El valor central procede de 3+3.
    1. Extremos: Escribe 1 y 1.
    2. Laterales: 1+3=4 y 3+1=4.
    3. Centro: 3+3=6.
    4. Resultado: 1,4,6,4,1.

    Comprobación: El valor central procede de 3+3.

    4

    Construir la fila 5

    1,4,6,4,1 → 1,5,10,10,5,1

    La nueva fila se obtiene completa sin memorizarla.

    11112113311464115101051La nueva fila se obtiene completa sin memorizarla.
    La nueva fila se obtiene completa sin memorizarla.
    1. Extremos: Mantén 1 en ambos lados.
    2. Primeros interiores: 1+4=5 y 4+6=10.
    3. Refleja: Por simetría siguen 10 y 5.
    4. Resultado: 1,5,10,10,5,1.

    Comprobación: La nueva fila se obtiene completa sin memorizarla.

    5

    Localizar C(6,2)

    C(6,2)=15

    Con filas numeradas desde 0, usa la fila 6 y posición 2.

    111121133114641151010511615201561Con filas numeradas desde 0, usa la fila 6 y posición 2.
    Con filas numeradas desde 0, usa la fila 6 y posición 2.
    1. Fila: Busca n=6.
    2. Posición: Cuenta k desde 0: 1,6,15.
    3. Lee: El valor es 15.
    4. Comprueba: C(6,2)=6·5/2=15.

    Comprobación: Con filas numeradas desde 0, usa la fila 6 y posición 2.

    6

    Usar la simetría

    C(7,2)=C(7,5)=21

    Las posiciones equidistantes de los extremos coinciden.

    111121133114641151010511615201561172135352171Las posiciones equidistantes de los extremos coinciden.
    Las posiciones equidistantes de los extremos coinciden.
    1. Observa: La fila 7 se lee igual en ambos sentidos.
    2. Localiza: k=2 contiene 21.
    3. Refleja: La posición 7−2=5 también contiene 21.
    4. Concluye: C(7,2)=C(7,5).

    Comprobación: Las posiciones equidistantes de los extremos coinciden.

    7

    Sumar la fila 5

    1+5+10+10+5+1=32

    La suma de la fila n es 2ⁿ.

    11112113311464115101051La suma de la fila n es 2ⁿ.
    La suma de la fila n es 2ⁿ.
    1. Suma: 1+5+10+10+5+1=32.
    2. Potencia: 2⁵=32.
    3. Relaciona: Es la expansión de (1+1)⁵.
    4. Concluye: La propiedad se cumple para n=5.

    Comprobación: La suma de la fila n es 2ⁿ.

    8

    Identidad del palo de hockey

    1+3+6=10

    Una diagonal parcial suma la entrada situada abajo y a un lado.

    11112113311464115101051Una diagonal parcial suma la entrada situada abajo y a un lado.
    Una diagonal parcial suma la entrada situada abajo y a un lado.
    1. Elige: Usa C(2,2), C(3,2) y C(4,2).
    2. Lee: Los valores son 1,3 y 6.
    3. Suma: 1+3+6=10.
    4. Compara: El resultado es C(5,3)=10.

    Comprobación: Una diagonal parcial suma la entrada situada abajo y a un lado.

    9

    Obtener coeficientes de una potencia

    (a+b)⁴ usa 1,4,6,4,1

    Pascal aporta coeficientes; Newton organiza exponentes.

    111121133114641Pascal aporta coeficientes; Newton organiza exponentes.
    Pascal aporta coeficientes; Newton organiza exponentes.
    1. Elige fila: La potencia es n=4.
    2. Lee: Fila 4: 1,4,6,4,1.
    3. Asigna: Los exponentes de a bajan y los de b suben.
    4. Resultado: a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

    Comprobación: Pascal aporta coeficientes; Newton organiza exponentes.

    10

    Construir la fila 7

    fila 6 → 1,7,21,35,35,21,7,1

    La regla de vecinos funciona también en filas mayores.

    111121133114641151010511615201561172135352171La regla de vecinos funciona también en filas mayores.
    La regla de vecinos funciona también en filas mayores.
    1. Parte: Fila 6: 1,6,15,20,15,6,1.
    2. Suma: 1+6=7, 6+15=21 y 15+20=35.
    3. Simetría: Repite 35,21,7 al otro lado.
    4. Cierra: Coloca el 1 final.

    Comprobación: La regla de vecinos funciona también en filas mayores.

    Patrones que conviene conocer

    • Simetría: C(n,k)=C(n,n−k).
    • Suma de fila: las entradas de la fila n suman 2ⁿ.
    • Diagonales: aparecen números naturales, triangulares y otras sucesiones.
    • Coeficientes: la fila n contiene los coeficientes de (A+B)ⁿ.

    Estos patrones se comprueban con ejemplos concretos; no significan que el triángulo sea un método general para “obtener números primos”.

    Errores frecuentes

    • Numerar la cima de una forma y cambiar de convención a mitad del ejercicio.
    • Sumar todos los números superiores en lugar de solo dos vecinos.
    • Olvidar colocar 1 en ambos extremos.
    • Usar la fila n−1 para desarrollar una potencia n.
    • Creer que el triángulo genera exclusivamente números primos.

    Preguntas frecuentes

    ¿Con qué número comienza el triángulo?

    Comienza con 1 en la cima, que aquí se numera como fila 0.

    ¿Cómo se obtiene un número interior?

    Sumando las dos entradas contiguas situadas arriba a la izquierda y arriba a la derecha.

    ¿Por qué cada fila es simétrica?

    Porque los coeficientes binomiales cumplen C(n,k)=C(n,n−k).

    ¿Qué fila corresponde a (A+B)⁵?

    La fila 5: 1,5,10,10,5,1.

    ¿Tengo que memorizar todas las filas?

    No. Puedes construir cada fila desde la anterior o calcular una entrada con C(n,k).

    Test de 10 preguntas

    Pon a prueba lo aprendido

    Aciertos: 0/10

    Pregunta 1 de 10

    ¿Cuál es la fila 2?

    Recursos para seguir aprendiendo

    Fuentes y revisión editorial

    Cómo citar este artículo

    Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Triángulo de Pascal: cómo se construye y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/triangulo-de-pascal/

    Fuentes consultadas

    Responsable editorial

    Editorial Ejemplode

    Responsable de la selección, verificación y actualización del contenido, los ejemplos y las fuentes.

    Metodología editorial

    Revisión y actualización

    Última revisión editorial:

    Comprometidos con la calidadContenido útil, claro y actualizado.
    Contenido claro
    y comprensible
    Ejemplos útiles
    y aplicables
    Revisión periódica
    y actualizada
    Enfoque educativo
    y responsable