Un binomio al cubo es un binomio multiplicado tres veces por sí mismo. Su desarrollo contiene cuatro términos con coeficientes 1, 3, 3 y 1.
Fórmulas del binomio al cubo
En una suma, los cuatro términos son positivos. En una diferencia, los signos alternan: positivo, negativo, positivo y negativo.
Cómo resolverlo paso a paso
- Escribe el cubo del primer término.
- Agrega tres veces el cuadrado del primero por el segundo.
- Agrega tres veces el primero por el cuadrado del segundo.
- Escribe el cubo del segundo término.
- Simplifica coeficientes, variables y signos.
Este procedimiento parte de un binomio. También puede comprobarse multiplicando su binomio al cuadrado por el binomio original.
10 ejemplos explicados de binomio al cubo
Cada tarjeta separa el cubo inicial, los dos productos intermedios y el cubo final.
Suma con 1
Las potencias de x descienden de 3 a 0.
- Cubo del primero: x³.
- Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3x².
- Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3x.
- Cubo del segundo: 1.
- Primero
- x³
- Intermedios
- 3x²; 3x
- Último
- 1
Suma con 2
3x²(2) = 6x² y 3x(2²) = 12x.
- Cubo del primero: x³.
- Primer término intermedio: 3x²(2) = 6x².
- Segundo término intermedio: 3x(4) = 12x.
- Cubo del segundo: 2³ = 8.
- Primero
- x³
- Intermedios
- 6x²; 12x
- Último
- 8
Diferencia con 1
El cuadrado de −1 es positivo y su cubo es negativo.
- Cubo del primero: x³.
- Primer intermedio: 3x²(−1) = −3x².
- Segundo intermedio: 3x(−1)² = 3x.
- Cubo del segundo: (−1)³ = −1.
- Signos
- +; −; +; −
- Intermedios
- −3x²; +3x
- Resultado
- x³ − 3x² + 3x − 1
Diferencia con 2
Los términos primero y tercero son positivos; segundo y cuarto, negativos.
- Cubo del primero: x³.
- Primer intermedio: 3x²(−2) = −6x².
- Segundo intermedio: 3x(4) = 12x.
- Cubo del segundo: (−2)³ = −8.
- Primero
- x³
- Intermedios
- −6x²; +12x
- Último
- −8
Coeficiente en el primero
El coeficiente 2 también se eleva en cada potencia.
- Cubo del primero: (2x)³ = 8x³.
- Primer intermedio: 3(2x)²(1) = 12x².
- Segundo intermedio: 3(2x)(1)² = 6x.
- Cubo del segundo: 1.
- Primero
- 8x³
- Intermedios
- 12x²; 6x
- Último
- 1
Coeficiente y resta
Solo cambian los signos que dependen de una potencia impar de −1.
- Cubo del primero: 8x³.
- Primer intermedio: 3(2x)²(−1) = −12x².
- Segundo intermedio: 3(2x)(−1)² = 6x.
- Cubo del segundo: −1.
- Signos
- +; −; +; −
- Intermedios
- −12x²; +6x
- Resultado
- 8x³ − 12x² + 6x − 1
Dos variables
El grado total de cada término del resultado es 3.
- Cubo del primero: a³.
- Primer intermedio: 3a²(2b) = 6a²b.
- Segundo intermedio: 3a(2b)² = 12ab².
- Cubo del segundo: (2b)³ = 8b³.
- Primero
- a³
- Intermedios
- 6a²b; 12ab²
- Último
- 8b³
Coeficiente 3
(3m)³ = 27m³ y 3(3m)²n = 27m²n.
- Cubo del primero: 27m³.
- Primer intermedio: 27m²n.
- Segundo intermedio: 9mn².
- Cubo del segundo: n³.
- Primero
- 27m³
- Intermedios
- 27m²n; 9mn²
- Último
- n³
Diferencia de variables
Las potencias de p bajan mientras las de q suben.
- Cubo del primero: p³.
- Primer intermedio: −3p²q.
- Segundo intermedio: +3pq².
- Cubo del segundo con signo: −q³.
- Signos
- +; −; +; −
- Intermedios
- −3p²q; +3pq²
- Resultado
- p³ − 3p²q + 3pq² − q³
Dos coeficientes
Los productos intermedios requieren cuadrados y el factor 3.
- Cubo del primero: (2r)³ = 8r³.
- Primer intermedio: 3(2r)²(−3s) = −36r²s.
- Segundo intermedio: 3(2r)(−3s)² = 54rs².
- Cubo del segundo: (−3s)³ = −27s³.
- Primero
- 8r³
- Intermedios
- −36r²s; +54rs²
- Último
- −27s³
Cómo comprobar el resultado
Multiplica el binomio por su cuadrado y combina términos semejantes. El resultado debe coincidir con los cuatro términos de la fórmula. Para potencias mayores, continúa con el binomio de Newton. La guía de polinomios explica cómo reconocer y ordenar el resultado.
Errores frecuentes
- Elevar al cubo cada término y omitir los dos productos intermedios.
- Usar coeficientes 1, 2, 1 en lugar de 1, 3, 3, 1.
- Poner todos los términos negativos en una diferencia.
- Olvidar elevar al cubo los coeficientes.
- Confundir el segundo producto intermedio con el primero.
Preguntas frecuentes
¿Cuántos términos produce el cubo?
Normalmente cuatro términos, salvo que alguno se anule al simplificar.
¿Por qué aparecen cuatro términos al desarrollar un binomio al cubo?
Porque el desarrollo combina las potencias desde el cubo del primer término hasta el cubo del segundo, incluyendo dos términos mixtos.
¿Qué ocurre si uno de los términos del binomio vale cero?
Los términos que lo contienen desaparecen y el resultado queda reducido al cubo del término distinto de cero.
¿Es a³ + b³?
No. También deben incluirse 3a²b y 3ab² con los signos correspondientes.
¿Cómo se comprueba?
Multiplica el cuadrado del binomio por el binomio original.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
¿Cuáles son los coeficientes del cubo de una suma?
Pregunta 2 de 10
¿Cuál es (a + b)³?
Pregunta 3 de 10
¿Cómo alternan los signos de (a − b)³?
Pregunta 4 de 10
¿Cuánto es (x + 1)³?
Pregunta 5 de 10
¿Cuál es el último término de (x − 2)³?
Pregunta 6 de 10
¿Cuánto vale (2x)³?
Pregunta 7 de 10
¿Qué falta en a³ + b³?
Pregunta 8 de 10
¿Cómo se comprueba el cubo?
Pregunta 9 de 10
¿Cuál es (x − 1)³?
Pregunta 10 de 10
¿Cuántos productos intermedios hay?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Binomio al cubo: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/binomio-al-cubo/
Fuentes consultadas
- Dirección General del Bachillerato, SEP: Matemáticas IDesarrollo del cubo de la suma y de la diferencia de dos términos.
- OpenStax, College Algebra 2e: Binomial TheoremCoeficientes y expansión de potencias de binomios.
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Editorial Ejemplode
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