Un binomio al cuadrado es un binomio multiplicado por sí mismo. Su desarrollo siempre contiene el cuadrado del primer término, el doble producto y el cuadrado del segundo término.
Fórmulas del binomio al cuadrado
La diferencia está en el término central: es positivo para una suma y negativo para una resta. Los dos cuadrados de los extremos son no negativos cuando se evalúan con números reales.
Cómo resolverlo paso a paso
- Eleva al cuadrado el primer término.
- Multiplica los dos términos y duplica el producto, conservando el signo.
- Eleva al cuadrado el segundo término.
- Escribe los tres resultados en ese orden.
Si necesitas repasar qué cuenta como dos términos, consulta binomios. El resultado suele ser un trinomio, pero aquí nos concentramos en el desarrollo.
10 ejemplos explicados de binomio al cuadrado
Cada tarjeta muestra los tres cálculos antes de reunir el resultado.
Suma con 1
El término central es 2 · x · 1 = 2x.
- Cuadrado del primero: x².
- Doble producto: 2(x)(1) = 2x.
- Cuadrado del segundo: 1² = 1.
- Primero
- x²
- Centro
- 2x
- Último
- 1
Suma con 2
El último término es 2² = 4.
- Cuadrado del primero: x².
- Doble producto: 2(x)(2) = 4x.
- Cuadrado del segundo: 2² = 4.
- Primero
- x²
- Centro
- 4x
- Último
- 4
Suma con 3
El signo positivo se conserva en el doble producto.
- Cuadrado del primero: x².
- Doble producto: 2(x)(3) = 6x.
- Cuadrado del segundo: 3² = 9.
- Primero
- x²
- Centro
- 6x
- Último
- 9
Diferencia con 1
El cuadrado final es positivo, pero el doble producto conserva el signo menos.
- Cuadrado del primero: x².
- Doble producto: 2(x)(−1) = −2x.
- Cuadrado del segundo: (−1)² = 1.
- Primero
- x²
- Centro
- −2x
- Último
- 1
Diferencia con 4
Elevar −4 al cuadrado produce 16.
- Cuadrado del primero: x².
- Doble producto: 2(x)(−4) = −8x.
- Cuadrado del segundo: (−4)² = 16.
- Primero
- x²
- Centro
- −8x
- Último
- 16
Dos términos con coeficiente
(2x)² = 4x² y 2(2x)(3) = 12x.
- Cuadrado del primero: (2x)² = 4x².
- Doble producto: 2(2x)(3) = 12x.
- Cuadrado del segundo: 3² = 9.
- Primero
- 4x²
- Centro
- 12x
- Último
- 9
Dos variables
El coeficiente implícito de b es 1.
- Cuadrado del primero: (3a)² = 9a².
- Doble producto: 2(3a)(−b) = −6ab.
- Cuadrado del segundo: (−b)² = b².
- Primero
- 9a²
- Centro
- −6ab
- Último
- b²
Segundo término variable
El factor 2 de n participa tanto en el centro como en el último término.
- Cuadrado del primero: m².
- Doble producto: 2(m)(2n) = 4mn.
- Cuadrado del segundo: (2n)² = 4n².
- Primero
- m²
- Centro
- 4mn
- Último
- 4n²
Coeficiente y resta
El signo menos solo cambia el término central; el último cuadrado es positivo.
- Cuadrado del primero: 4p².
- Doble producto: 2(2p)(−q) = −4pq.
- Cuadrado del segundo: q².
- Primero
- 4p²
- Centro
- −4pq
- Último
- q²
Coeficiente en el segundo término
El doble producto es 2(a)(3b) = 6ab.
- Cuadrado del primero: a².
- Doble producto: 6ab.
- Cuadrado del segundo: 9b².
- Primero
- a²
- Centro
- 6ab
- Último
- 9b²
Cuadrado y cubo de un binomio
El cuadrado produce tres términos mediante los coeficientes 1, 2, 1. El binomio al cubo usa cuatro términos y los coeficientes 1, 3, 3, 1. Para potencias mayores se utiliza el binomio de Newton. La guía de polinomios sitúa estos procedimientos dentro del clúster.
Errores frecuentes
- Escribir (a + b)² como a² + b² y olvidar el doble producto.
- Dejar negativo el cuadrado del segundo término en (a − b)².
- Olvidar elevar también los coeficientes.
- Duplicar uno de los cuadrados en lugar del producto ab.
- Confundir el patrón con el producto de binomios conjugados.
Preguntas frecuentes
¿Por qué aparece el doble producto?
Porque al multiplicar (a + b)(a + b) aparecen ab y ba, que juntos forman 2ab.
¿El último término de (a − b)² es negativo?
No. (−b)² = b²; el término negativo es el doble producto central.
¿El resultado siempre tiene tres términos?
Normalmente sí, aunque puede simplificarse si algún término vale cero.
¿Es lo mismo que a² + b²?
No. Falta el término central ±2ab.
¿Cómo compruebo el resultado?
Multiplica el binomio por sí mismo y combina términos semejantes.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
¿Cuál es (a + b)²?
Pregunta 2 de 10
¿Cuál es (a − b)²?
Pregunta 3 de 10
¿Cuánto es (x + 1)²?
Pregunta 4 de 10
¿Cuál es el término central de (x − 4)²?
Pregunta 5 de 10
¿Cuánto vale (2x)²?
Pregunta 6 de 10
¿El último término de (x − 3)² es?
Pregunta 7 de 10
¿Qué falta en a² + b² para ser (a + b)²?
Pregunta 8 de 10
¿Cuánto es (2p − q)²?
Pregunta 9 de 10
¿Cómo se comprueba la fórmula?
Pregunta 10 de 10
¿Puede un cuadrado valer cero?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Binomio al cuadrado: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/binomio-al-cuadrado/
Fuentes consultadas
- OpenStax, Elementary Algebra 2e: Special ProductsPatrones del cuadrado de una suma y del cuadrado de una diferencia.
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