EJEMPLOS DE MATEMÁTICAS

Suma de cubos: fórmula y ejemplos

Distingue entre calcular y sumar valores cúbicos, y factorizar una expresión algebraica de la forma A³+B³.

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Para factorizar una suma de cubos usa A³+B³=(A+B)(A²−AB+B²). El signo del binomio se conserva, el término central del trinomio cambia de signo y el último es positivo.

    La expresión suma de cubos puede referirse a dos tareas. Con números, se calculan las potencias y luego se suman sus valores. En álgebra, una suma de dos cubos perfectos puede factorizarse.

    No debe confundirse A³+B³ con (A+B)³. El binomio al cubo incluye dos términos mixtos que no aparecen en la suma de cubos.

    Suma de cubos: explicación visual paso a paso

    Cómo factorizar A³+B³

    1. Comprueba que hay exactamente dos términos sumados.
    2. Verifica que ambos sean cubos perfectos.
    3. Obtén sus raíces cúbicas A y B.
    4. Forma el binomio (A+B).
    5. Forma el trinomio (A²−AB+B²).
    6. Multiplica los factores para comprobar la cancelación.

    Consulta el mapa de productos notables para distinguir esta identidad de cuadrados, conjugados y cubos de binomios.

    10 ejemplos explicados paso a paso

    Cada factorización identifica primero las bases A y B y termina con una comprobación.

    1

    Calcular dos cubos

    2³+5³ = 133

    Aquí se pide un valor numérico, no factorizar.

    2³+5³Expresióncalcular primero133ResultadoLas potencias se resuelven antes de sumar.
    Las potencias se resuelven antes de sumar.
    1. Potencia: 2³=8.
    2. Potencia: 5³=125.
    3. Suma: 8+125=133.
    4. Concluye: El valor es 133.

    Comprobación: 8+125=133.

    2

    Sumar fracciones al cubo

    (½)³+(¼)³ = 9/64

    Elevar una fracción al cubo afecta numerador y denominador.

    (½)³+(¼)³Expresiónpotencias + común denominador9/64ResultadoNo se suman las bases antes de elevar.
    No se suman las bases antes de elevar.
    1. Eleva: (½)³=1/8.
    2. Eleva: (¼)³=1/64.
    3. Convierte: 1/8=8/64.
    4. Suma: 8/64+1/64=9/64.

    Comprobación: 9/64 está simplificada.

    3

    Factorizar x³+8

    x³+8 = (x+2)(x²−2x+4)

    Se usa la identidad de suma de cubos.

    x³+8ExpresiónA=x, B=2(x+2)(x²−2x+4)ResultadoEl binomio conserva el signo +.
    El binomio conserva el signo +.
    1. Reconoce: x³ es el cubo de x y 8 es el cubo de 2.
    2. Fórmula: A³+B³=(A+B)(A²−AB+B²).
    3. Sustituye: A=x y B=2.
    4. Simplifica: Obtén (x+2)(x²−2x+4).

    Comprobación: Distribuir cancela −2x²+2x² y 4x−4x.

    4

    Factorizar 8x³+27

    8x³+27 = (2x+3)(4x²−6x+9)

    Primero se extraen las raíces cúbicas completas.

    8x³+27ExpresiónA=2x, B=3dos factoresResultadoLos coeficientes también tienen raíz cúbica.
    Los coeficientes también tienen raíz cúbica.
    1. Reescribe: 8x³=(2x)³ y 27=3³.
    2. Binomio: Forma 2x+3.
    3. Trinomio: Calcula (2x)²−(2x)(3)+3².
    4. Simplifica: Es 4x²−6x+9.

    Comprobación: El producto recupera 8x³+27.

    5

    Factorizar 64m³+n³

    (4m+n)(16m²−4mn+n²)

    Ambos términos son cubos perfectos.

    64m³+n³Expresiónraíces cúbicasfactoresResultadoEl término medio es −(4m)(n).
    El término medio es −(4m)(n).
    1. Extrae: A=4m y B=n.
    2. Primer factor: A+B=4m+n.
    3. Segundo factor: A²−AB+B².
    4. Sustituye: 16m²−4mn+n².

    Comprobación: Multiplica ambos factores y combina semejantes.

    6

    Reconocer un cubo compuesto

    x⁶+8 = (x²+2)(x⁴−2x²+4)

    Una potencia sexta puede ser un cubo.

    x⁶+8ExpresiónA=x², B=2dos factoresResultadoLa base cúbica puede ser una expresión.
    La base cúbica puede ser una expresión.
    1. Reescribe: x⁶=(x²)³.
    2. Identifica: A=x² y B=2.
    3. Aplica: (A+B)(A²−AB+B²).
    4. Simplifica: A²=x⁴ y AB=2x².

    Comprobación: (x²)³=x⁶.

    7

    Uno más 125y³

    1+125y³ = (1+5y)(1−5y+25y²)

    El orden de A y B puede elegirse de forma natural.

    1+125y³ExpresiónA=1, B=5ydos factoresResultadoEl último término del trinomio siempre es positivo.
    El último término del trinomio siempre es positivo.
    1. Reescribe: 1=1³ y 125y³=(5y)³.
    2. Binomio: 1+5y.
    3. Trinomio: 1²−(1)(5y)+(5y)².
    4. Simplifica: 1−5y+25y².

    Comprobación: Los términos con y y y² se cancelan al multiplicar.

    8

    Dos variables con coeficientes

    27a³+8b³ = (3a+2b)(9a²−6ab+4b²)

    Cada término tiene su propia base cúbica.

    27a³+8b³ExpresiónA=3a, B=2bdos factoresResultadoAB=6ab.
    AB=6ab.
    1. Extrae: A=3a y B=2b.
    2. Suma: Forma 3a+2b.
    3. Trinomio: 9a²−6ab+4b².
    4. Concluye: Es la factorización completa sobre los reales.

    Comprobación: El producto da 27a³+8b³.

    9

    Comprobar la identidad

    (A+B)(A²−AB+B²) = A³+B³

    La cancelación explica la fórmula.

    (A+B)(A²−AB+B²)Expresióndistribuir y cancelarA³+B³ResultadoLos términos mixtos se anulan.
    Los términos mixtos se anulan.
    1. Distribuye A: A³−A²B+AB².
    2. Distribuye B: A²B−AB²+B³.
    3. Cancela: −A²B+A²B=0 y AB²−AB²=0.
    4. Resultado: Quedan A³+B³.

    Comprobación: La igualdad vale para cualesquiera A y B.

    10

    Distinguir dos expresiones

    x³+8 frente a (x+2)³

    La suma de cubos no es el cubo de una suma.

    x³+8Expresióncomparar con (x+2)³no son igualesResultadoUn contraejemplo basta para descartar la igualdad.
    Un contraejemplo basta para descartar la igualdad.
    1. Evalúa izquierda: Con x=1: 1³+2³=9.
    2. Evalúa derecha: (1+2)³=27.
    3. Explica: El cubo del binomio incluye 6x² y 12x.
    4. Concluye: Son expresiones distintas.

    Comprobación: Con x=1 se obtienen 9 y 27.

    Suma y diferencia de cubos

    Son patrones distintos: A³+B³=(A+B)(A²−AB+B²), mientras que A³−B³=(A−B)(A²+AB+B²). En ambos, el signo del binomio coincide con el original y el signo central del trinomio es el opuesto.

    La guía de polinomios ayuda a identificar el binomio antes de factorizar.

    Errores frecuentes

    • Confundir A³+B³ con (A+B)³.
    • Aplicar la identidad cuando uno de los términos no es cubo perfecto.
    • Cambiar el signo del binomio.
    • Escribir +AB en el trinomio de una suma de cubos.
    • Olvidar elevar A y B al cuadrado dentro del trinomio.

    Preguntas frecuentes

    ¿Cómo reconozco si un término es un cubo perfecto?

    Su coeficiente debe tener raíz cúbica exacta y los exponentes de sus variables deben ser múltiplos de tres.

    ¿A³+B³ es igual a (A+B)³?

    No. El cubo de la suma también contiene 3A²B y 3AB².

    ¿Cómo reconozco un cubo perfecto?

    Debe poder escribirse como una expresión elevada al exponente 3; por ejemplo, 8x³=(2x)³.

    ¿El trinomio resultante se puede factorizar más?

    En general, A²−AB+B² no se factoriza sobre los números reales.

    ¿Cómo compruebo la factorización?

    Distribuye (A+B)(A²−AB+B²) y verifica que los términos mixtos se cancelen.

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    Pregunta 1 de 10

    ¿Cuál es la identidad correcta?

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    Editorial Ejemplode. (2026, 5 de August). Suma de cubos: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/suma-de-cubos/

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