EJEMPLOS DE MATEMÁTICAS

Trinomio al cuadrado: fórmula y ejemplos

Organiza el desarrollo en dos grupos: tres cuadrados y tres productos dobles; después comprueba el resultado con una sustitución sencilla.

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Editorial Ejemplode 7 min Nivel básico
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El cuadrado de A + B + C contiene seis componentes: A² + B² + C² + 2AB + 2AC + 2BC. Para no omitir ninguno, escribe primero los tres cuadrados y después los tres productos por parejas, todos multiplicados por 2.

    Elevar un trinomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. El resultado tiene dos grupos fáciles de controlar: los cuadrados de los tres términos y los productos de cada pareja, multiplicados por 2.

    La identidad se aplica a términos completos. Si A = 2x o C = −y, el coeficiente y el signo forman parte del término y deben conservarse durante todo el desarrollo.

    Trinomio al cuadrado: explicación visual paso a paso

    La fórmula organizada en dos grupos

    A² + B² + C²Grupo 1: los tres cuadrados.2AB + 2AC + 2BCGrupo 2: las tres parejas, multiplicadas por 2.

    Hay exactamente tres parejas: AB, AC y BC. Esta lista evita repetir una pareja u olvidar otra. Si todavía necesitas distinguir el número de términos, repasa los trinomios.

    Qué se resuelve primero

    1. Asigna A, B y C, incluyendo coeficientes y signos.
    2. Calcula A², B² y C².
    3. Calcula 2AB, 2AC y 2BC.
    4. Reúne términos semejantes si los hay.
    5. Comprueba sustituyendo valores pequeños.

    El patrón de dos términos aparece en el binomio al cuadrado. Para una potencia mayor continúa con el trinomio al cubo.

    10 ejemplos explicados paso a paso

    Cada solución separa los dos grupos de la identidad y termina con una comprobación numérica.

    Ejemplo 1

    Variables y una constante

    Los tres cuadrados y los tres productos dobles quedan separados.

    1. Identifica: A = x, B = y y C = 1.
    2. Grupo 1 · cuadrados: x² + y² + 1.
    3. Grupo 2 · productos dobles: 2xy + 2x + 2y.
    4. Reúne: x² + y² + 1 + 2xy + 2x + 2y.
    5. Comprueba: Con x = 1, y = 2: ambos lados valen 16.
    Ejemplo 2

    Un término negativo

    El signo de C cambia los productos que lo contienen.

    1. Identifica: A = x, B = y y C = −1.
    2. Grupo 1 · cuadrados: x² + y² + 1.
    3. Grupo 2 · productos dobles: 2xy − 2x − 2y.
    4. Reúne: x² + y² + 1 + 2xy − 2x − 2y.
    5. Comprueba: Con x = 2, y = 3: ambos lados valen 16.
    Ejemplo 3

    Signo negativo en B

    Cada producto conserva el signo de los factores completos.

    1. Identifica: A = x, B = −y y C = 2.
    2. Grupo 1 · cuadrados: x² + y² + 4.
    3. Grupo 2 · productos dobles: −2xy + 4x − 4y.
    4. Reúne: x² + y² + 4 − 2xy + 4x − 4y.
    5. Comprueba: Con x = 3, y = 1: ambos lados valen 16.
    Ejemplo 4

    Tres variables

    Es la identidad general sin sustituciones numéricas.

    1. Identifica: A = a, B = b y C = c.
    2. Grupo 1 · cuadrados: a² + b² + c².
    3. Grupo 2 · productos dobles: 2ab + 2ac + 2bc.
    4. Reúne: a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
    5. Comprueba: Con a = 1, b = 2, c = 3: ambos lados valen 36.
    Ejemplo 5

    Coeficiente dentro del término

    Se eleva 2x completo y se usa completo en cada producto.

    1. Identifica: A = 2x, B = y y C = 3.
    2. Grupo 1 · cuadrados: 4x² + y² + 9.
    3. Grupo 2 · productos dobles: 4xy + 12x + 6y.
    4. Reúne: 4x² + y² + 9 + 4xy + 12x + 6y.
    5. Comprueba: Con x = 1, y = 2: ambos lados valen 49.
    Ejemplo 6

    Coeficiente y signo

    El término −p produce dos productos negativos.

    1. Identifica: A = m, B = 2n y C = −p.
    2. Grupo 1 · cuadrados: m² + 4n² + p².
    3. Grupo 2 · productos dobles: 4mn − 2mp − 4np.
    4. Reúne: m² + 4n² + p² + 4mn − 2mp − 4np.
    5. Comprueba: Con m = 1, n = 2, p = 3: ambos lados valen 4.
    Ejemplo 7

    Un término ya es cuadrático

    Después de aplicar la identidad se reducen términos semejantes.

    1. Identifica: A = x², B = x y C = 1.
    2. Grupo 1 · cuadrados: x⁴ + x² + 1.
    3. Grupo 2 · productos dobles: 2x³ + 2x² + 2x.
    4. Reúne: Al reunir x² + 2x² queda 3x².
    5. Comprueba: Con x = 1: ambos lados valen 9.
    Ejemplo 8

    Dos términos negativos

    El producto de −b por −c es positivo.

    1. Identifica: A = 3a, B = −b y C = −c.
    2. Grupo 1 · cuadrados: 9a² + b² + c².
    3. Grupo 2 · productos dobles: −6ab − 6ac + 2bc.
    4. Reúne: 9a² + b² + c² − 6ab − 6ac + 2bc.
    5. Comprueba: Con a = 2, b = 1, c = 2: ambos lados valen 9.
    Ejemplo 9

    Coeficiente en C

    El 2 de C se eleva y también aparece en dos productos.

    1. Identifica: A = p, B = q y C = 2r.
    2. Grupo 1 · cuadrados: p² + q² + 4r².
    3. Grupo 2 · productos dobles: 2pq + 4pr + 4qr.
    4. Reúne: p² + q² + 4r² + 2pq + 4pr + 4qr.
    5. Comprueba: Con p = 1, q = 2, r = 1: ambos lados valen 25.
    Ejemplo 10

    Coeficiente fraccionario

    La mitad también se eleva al cuadrado.

    1. Identifica: A = ½x, B = y y C = 1.
    2. Grupo 1 · cuadrados: ¼x² + y² + 1.
    3. Grupo 2 · productos dobles: xy + x + 2y.
    4. Reúne: ¼x² + y² + 1 + xy + x + 2y.
    5. Comprueba: Con x = 2, y = 1: ambos lados valen 9.

    Cómo saber si no falta ningún término

    Antes de simplificar deben aparecer tres cuadrados y tres productos dobles. Después pueden combinarse términos semejantes, como ocurre en (x² + x + 1)². Esta identidad no debe confundirse con reconocer un trinomio cuadrado perfecto. El mapa general está en polinomios.

    Errores frecuentes

    • Escribir solo A² + B² + C².
    • Olvidar el factor 2 de los productos por parejas.
    • Perder el signo de un término negativo.
    • Elevar solo la variable y no su coeficiente.
    • No reducir términos semejantes al final.

    Preguntas frecuentes

    ¿Cuántos componentes tiene la identidad antes de simplificar?

    Seis: tres cuadrados y tres productos dobles.

    ¿Por qué aparece 2AB?

    Porque AB aparece una vez al multiplicar A por B y otra al multiplicar B por A.

    ¿El signo negativo se eleva?

    Sí. El signo forma parte del término: (−B)² es positivo, pero los productos que contienen un solo signo negativo son negativos.

    ¿Siempre quedan seis términos?

    No. Después de aplicar la identidad pueden reunirse términos semejantes.

    ¿Cómo se comprueba el resultado?

    Sustituye valores sencillos y verifica que la expresión original y el desarrollo produzcan el mismo número.

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    Pregunta 1 de 10

    ¿Cuál es el primer grupo de (A+B+C)²?

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    Fuentes y revisión editorial

    Cómo citar este artículo

    Editorial Ejemplode. (2026, 5 de August). Trinomio al cuadrado: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/trinomio-al-cuadrado/

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