Hay proporcionalidad inversa cuando el producto de dos magnitudes correspondientes permanece constante. Se expresa como xy = k o y = k/x. No se comprueba igualando razones, sino comparando productos.
Cómo leer la gráfica: al aumentar x, y disminuye de modo que el producto se conserva. Por eso los puntos forman una curva, no una recta.
Cómo reconocer una relación inversa
- Verifica que el trabajo, distancia, volumen o total permanezca fijo.
- Multiplica los valores correspondientes de x e y.
- Si todos los productos son iguales, existe proporcionalidad inversa.
- Calcula el dato faltante con y = k/x.
La diferencia conceptual se entiende mejor desde razones y proporciones. Compárala con la proporcionalidad directa y practica ambos casos mediante la regla de tres.
10 ejemplos explicados de proporcionalidad inversa
Primero se calcula k con los datos conocidos y luego se divide k entre el nuevo valor.
Trabajadores y días
La tarea y el rendimiento individual son los mismos.
- Calcula k = 4 × 6 = 24 trabajador-días.
- Divide 24 entre 8 trabajadores.
- Se requieren 3 días.
Grifos y tiempo
Todos los grifos tienen el mismo caudal.
- Calcula k = 6 × 10 = 60 grifo-horas.
- Divide 60 entre 12 grifos.
- El depósito tarda 5 horas.
Personas y cuota
El gasto total fijo es $1200.
- Calcula k = 5 × 240 = 1200.
- Divide $1200 entre 8 personas.
- Cada una paga $150.
Máquinas y horas
Las máquinas tienen igual rendimiento y el pedido es fijo.
- Calcula k = 3 × 12 = 36 máquina-horas.
- Divide 36 entre 9 máquinas.
- El pedido tarda 4 horas.
Velocidad y tiempo
La distancia fija es 240 km.
- Calcula k = 60 × 4 = 240 km.
- Divide 240 entre 80 km/h.
- El viaje tarda 3 horas.
Más trabajadores, menos días
El trabajo total equivale a 120 trabajador-días.
- Calcula k = 8 × 15 = 120.
- Divide 120 entre 10.
- Se requieren 12 días.
Impresoras y minutos
Todas imprimen al mismo ritmo.
- Calcula k = 4 × 30 = 120 impresora-minutos.
- Divide 120 entre 6.
- Se necesitan 20 minutos.
Animales y alimento
La cantidad total de alimento es fija.
- Calcula k = 12 × 20 = 240 animal-días.
- Divide 240 entre 16 animales.
- El alimento dura 15 días.
Bombas y vaciado
Las bombas tienen el mismo caudal.
- Calcula k = 2 × 9 = 18 bomba-horas.
- Divide 18 entre 3 bombas.
- El vaciado tarda 6 horas.
Personal y horas
La tarea fija requiere 48 trabajador-horas.
- Calcula k = 6 × 8 = 48.
- Divide 48 entre 12 trabajadores.
- Se requieren 4 horas.
Errores frecuentes
No basta con que una magnitud suba y la otra baje: el producto debe conservarse. También es indispensable mantener constantes las condiciones. Diez trabajadores no tardarán necesariamente la mitad si tienen distinta productividad o si una parte del trabajo no puede realizarse simultáneamente.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de la proporcionalidad inversa?
xy = k o, de forma equivalente, y = k/x.
¿Qué permanece constante?
El producto de los valores correspondientes.
¿Si x se duplica, qué ocurre con y?
y se reduce a la mitad, siempre que la relación sea realmente inversa.
¿Cómo se distingue de la proporcionalidad directa?
En la directa es constante y/x; en la inversa es constante xy.
¿Siempre más trabajadores significan menos tiempo?
Solo si realizan la misma tarea, tienen igual rendimiento y pueden trabajar simultáneamente.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
¿Qué ecuación representa variación inversa?
Pregunta 2 de 10
Si x=4 e y=6, ¿cuánto vale k?
Pregunta 3 de 10
Con k=40 y x=8, ¿cuánto vale y?
Pregunta 4 de 10
Si x se triplica, ¿qué pasa con y?
Pregunta 5 de 10
¿Qué se conserva en 60 km/h durante 4 h y 80 km/h durante 3 h?
Pregunta 6 de 10
4 trabajadores tardan 6 días. ¿Cuánto tardan 8?
Pregunta 7 de 10
6 impresoras tardan 20 minutos en completar un pedido. Con el mismo rendimiento, ¿cuánto tardan 8 impresoras?
Pregunta 8 de 10
¿Qué prueba una relación inversa?
Pregunta 9 de 10
¿Cuál supuesto es necesario en un problema de grifos?
Pregunta 10 de 10
¿Son inversamente proporcionales 2×12 y 3×8?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Proporcionalidad inversa: fórmula y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/proporcionalidad-inversa/
Fuentes consultadas
- OpenStax, Elementary Algebra 2e: Use Direct and Inverse VariationVariación directa e inversa, constante de proporcionalidad y modelos y = kx e y = k/x.
- OpenStax, Prealgebra 2e: Solve Proportions and their ApplicationsDefinición de proporción, productos cruzados, unidades y aplicaciones.
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