Una función cuadrática tiene la forma f(x)=ax²+bx+c, donde a no puede ser cero. Su gráfica es una parábola.
Evaluar la función significa calcular f(x) para una entrada. Graficarla significa representar muchos pares. Resolver f(x)=0 significa buscar los cortes con el eje x: son tareas relacionadas, pero diferentes.
Qué se resuelve primero
- Ordena la función como ax²+bx+c.
- Identifica a, b y c.
- Decide la apertura con el signo de a.
- Calcula el eje de simetría y el vértice cuando sea necesario.
- Construye una tabla con valores a ambos lados del eje.
- Ubica los puntos y dibuja una curva suave.
- Busca ceros solo si la pregunta pide f(x)=0.
Ruta para continuar
Repasa las variables, coeficientes y constantes, identifica la entrada y salida de la función y construye su gráfica en el plano cartesiano. Compárala con la comparación con una función lineal y revisa la estructura de los polinomios para comprender ax²+bx+c.
10 ejemplos explicados paso a paso
Cada ejemplo separa evaluación, representación gráfica, vértice y ceros para no confundir una función con una ecuación.
Construir la parábola básica
f(x)=x²
Los valores simétricos de x producen la misma salida.
- Identifica: a=1, b=0, c=0.
- Calcula tabla: x=−2,−1,0,1,2 produce 4,1,0,1,4.
- Ubica vértice: El mínimo es (0,0).
- Observa simetría: El eje es x=0.
- Traza: Une los puntos con una curva suave.
Trasladar la parábola hacia arriba
f(x)=x²+2
Sumar dos eleva todas las salidas sin cambiar la apertura.
- Compara: Parte de f(x)=x².
- Suma constante: Cada y aumenta 2.
- Vértice: (0,0) pasa a (0,2).
- Eje: Sigue siendo x=0.
- Concluye: Abre hacia arriba y no corta el eje x.
Reconocer una apertura hacia abajo
f(x)=−x²+4
El coeficiente principal negativo convierte el vértice en máximo.
- Identifica: a=−1.
- Apertura: La parábola abre hacia abajo.
- Vértice: Con x=0, f(0)=4.
- Ceros: −x²+4=0 da x=−2 y x=2.
- Concluye: El máximo es 4 en x=0.
Leer el vértice en forma factorizada
f(x)=(x−2)²
El cuadrado alcanza su mínimo cuando x−2 vale cero.
- Iguala interior: x−2=0.
- Obtén x: x=2.
- Evalúa: f(2)=0.
- Vértice: El punto es (2,0).
- Eje: La simetría ocurre en x=2.
Distinguir vértice y ceros
f(x)=x²−4
El vértice no es lo mismo que los puntos donde f(x)=0.
- Vértice: En x=0, f(0)=−4.
- Eje: La simetría es x=0.
- Busca ceros: x²−4=0.
- Resuelve: x=−2 o x=2.
- Concluye: V=(0,−4) y ceros (−2,0),(2,0).
Comparar anchuras con x²
f(x)=2x²
Un valor absoluto de a mayor que uno produce crecimiento vertical más rápido.
- Identifica: a=2.
- Calcula: f(1)=2 y f(2)=8.
- Compara: x² da 1 y 4 en esos puntos.
- Vértice: Permanece en (0,0).
- Concluye: La parábola se ve más estrecha.
Reconocer una parábola más ancha
f(x)=0.5x²
Un valor de a entre cero y uno reduce el crecimiento vertical.
- Identifica: a=0.5.
- Calcula: f(2)=2.
- Compara: x² daría 4.
- Vértice: Sigue en (0,0).
- Concluye: La parábola se ve más ancha.
Reconocer un trinomio cuadrado perfecto
f(x)=x²+2x+1
Reescribir ayuda a leer el vértice sin resolver toda una ecuación.
- Factoriza: x²+2x+1=(x+1)².
- Mínimo interior: x+1=0.
- Vértice: x=−1 y f(−1)=0.
- Eje: x=−1.
- Concluye: Toca el eje x una sola vez.
Encontrar un vértice desplazado
f(x)=−x²+2x+3
La parábola abre hacia abajo y su máximo no está sobre el eje y.
- Identifica: a=−1 y b=2.
- Calcula eje: x=−b/(2a)=1.
- Evalúa: f(1)=4.
- Ceros simples: La función vale cero en x=−1 y x=3.
- Concluye: V=(1,4) y abre hacia abajo.
Interpretar una altura cuadrática
h(t)=−5t²+20t+1
La tabla muestra una subida hasta el máximo y una bajada posterior.
- Entrada: t representa tiempo.
- Apertura: a=−5, por eso abre hacia abajo.
- Eje temporal: t=−20/(2·−5)=2.
- Altura máxima: h(2)=21.
- Interpreta: El modelo alcanza 21 unidades de altura en t=2.
Errores frecuentes
- Confundir evaluar f(x) con resolver f(x)=0.
- Decir que toda cuadrática abre hacia arriba.
- Tomar c como vértice; c solo es f(0).
- Unir los puntos con segmentos rectos en vez de una curva suave.
- Usar la fórmula cuadrática cuando solo se pide una tabla o el valor de la función.
Preguntas frecuentes
¿Toda función cuadrática tiene dos ceros reales?
No. Puede tener dos, uno o ninguno, según dónde esté la parábola respecto del eje x.
¿Qué indica el signo de a?
Si a es positiva abre hacia arriba; si es negativa abre hacia abajo.
¿El término c es el vértice?
No necesariamente. c=f(0) es el corte con el eje y.
¿Hay que igualar siempre a cero?
No. Solo se hace para buscar los ceros o resolver la ecuación asociada.
¿Qué diferencia hay con una función lineal?
La cuadrática tiene término x² y gráfica parabólica; la lineal tiene cambio constante y gráfica recta.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
¿Cuál es cuadrática?
Pregunta 2 de 10
En ax²+bx+c, a debe ser:
Pregunta 3 de 10
Si a
Pregunta 4 de 10
¿Cuál es el vértice de x²?
Pregunta 5 de 10
¿Qué representa c?
Pregunta 6 de 10
Los ceros se obtienen al resolver:
Pregunta 7 de 10
¿Cuál abre hacia abajo?
Pregunta 8 de 10
El eje de simetría de (x−2)² es:
Pregunta 9 de 10
¿Qué gráfica tiene una cuadrática?
Pregunta 10 de 10
¿Hay que igualar siempre una función cuadrática a cero?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Función cuadrática: qué es, cómo se grafica y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/funcion-cuadratica/
Fuentes consultadas
- OpenStax: Functions and Function NotationVariables de entrada y salida, función, tabla y evaluación.
- OpenStax: The Rectangular Coordinate Systems and GraphsEjes, origen, cuadrantes, pares ordenados y gráficas.
- OpenStax: Linear FunctionsPendiente, ordenada al origen, tasa de cambio y gráficas lineales.
- OpenStax: Quadratic FunctionsForma cuadrática, parábola, apertura, vértice, simetría y ceros.
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