Desigualdades: qué son y ejemplos

Primero se lee el signo y después se compara la posición de los números.

1. Identifica: El signo < significa “menor que”.
2. Compara: En la recta numérica, 3 está a la izquierda de 7.
3. Decide: La comparación 3 < 7 es verdadera.
4. Contrasta: La escritura 3 > 7 sería falsa porque invierte el orden.
5. Continúa: Las propiedades de las desigualdades explican qué transformaciones conservan esta relación.

Con números negativos conviene pensar en su posición, no solo en su valor absoluto.

1. Identifica: Se comparan −5 y −2 con el signo <.
2. Ubica: −5 está más a la izquierda que −2.
3. Decide: Por eso −5 < −2 es verdadera.
4. Evita el error: Aunque 5 sea mayor que 2, eso no convierte a −5 en el número mayor.
5. Continúa: La página de propiedades desarrolla el orden con números positivos y negativos.

Una desigualdad estricta excluye el extremo y se extiende hacia los valores mayores.

1. Identifica: x > 4 pide valores mayores que 4.
2. Dirección: Los valores mayores se encuentran a la derecha.
3. Extremo: El 4 queda fuera porque el signo > no incluye igualdad.
4. Representa: El intervalo es (4, ∞); ambos símbolos usan paréntesis.
5. Continúa: Intervalos en la recta numérica enseña el punto abierto y el sombreado.

La igualdad incluye el 2 y la palabra “menor” dirige la solución a la izquierda.

1. Identifica: x ≤ 2 acepta números menores que 2 y también el propio 2.
2. Dirección: La región avanza hacia −∞.
3. Extremo: El 2 se incluye y por eso lleva corchete.
4. Representa: Se escribe (−∞, 2]; el infinito nunca lleva corchete.
5. Continúa: La guía de intervalos conecta signo, punto y dirección.

Se elimina primero la suma que está fuera de la variable.

1. Observa: A x se le suma 3.
2. Primera decisión: Resta 3 en ambos miembros; esta operación conserva el signo.
3. Resuelve: x + 3 − 3 < 8 − 3 produce x < 5.
4. Comprueba: x = 4 cumple 7 < 8; x = 5 no cumple 8 < 8.
5. Continúa: Desigualdades de primer grado desarrolla todos los pasos de aislamiento.

La inversión sucede exactamente al dividir ambos miembros entre −2.

1. Observa: x está multiplicada por −2.
2. Primera decisión: Divide ambos miembros entre −2.
3. Regla del signo: Como el divisor es negativo, ≥ se convierte en ≤.
4. Resuelve: 6 ÷ (−2) = −3, por lo que x ≤ −3.
5. Comprueba: x = −4 cumple 8 ≥ 6; x = 0 no cumple 0 ≥ 6.

Una cadena reúne dos condiciones que deben cumplirse al mismo tiempo.

1. Separa: La cadena expresa x ≥ 1 y x < 4.
2. Combina: “Y” pide la intersección de ambas regiones.
3. Extremos: El 1 se incluye; el 4 se excluye.
4. Representa: La solución es [1, 4).
5. Comprueba: x = 2 cumple las dos condiciones; 0 y 4 quedan fuera.

El conector “o” conserva los valores de cualquiera de las dos condiciones.

1. Separa: La primera región es x < −2; la segunda es x ≥ 3.
2. Combina: “O” pide la unión, no la zona común.
3. Extremos: −2 se excluye y 3 se incluye.
4. Representa: El intervalo es (−∞, −2) ∪ [3, ∞).
5. Comprueba: −3 y 3 pertenecen; 0 no pertenece a ninguna región.

El valor absoluto se interpreta primero como distancia al cero.

1. Interpreta: |x| es la distancia de x al cero.
2. Decide: Una distancia menor que 3 conserva la región interior.
3. Transforma: Se obtiene la cadena −3 < x < 3.
4. Representa: El intervalo es (−3, 3).
5. Continúa: Desigualdades con valor absoluto desarrolla los patrones interior y exterior.

Los ceros dividen la recta en regiones cuyo signo debe comprobarse.

1. Encuentra ceros: x − 1 = 0 da 1 y x + 2 = 0 da −2.
2. Ordena: Los intervalos son (−∞, −2), (−2, 1) y (1, ∞).
3. Prueba signos: El producto es positivo, negativo y positivo, respectivamente.
4. Selecciona: Como se pide > 0, se toman las dos regiones exteriores.
5. Resultado: x < −2 o x > 1; el método completo aparece en desigualdades factorizables.