EJEMPLOS DE MATEMÁTICAS

Desigualdades con valor absoluto: reglas y ejemplos

Interpreta cada valor absoluto como distancia y observa en la recta por qué “menor” conserva el interior y “mayor” produce dos regiones exteriores.

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Editorial Ejemplode 9 min Nivel intermedio
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Si k > 0, |u| < k describe los valores interiores entre −k y k, mientras |u| > k describe dos regiones exteriores. Los signos ≤ y ≥ incluyen los extremos. Antes de usar estas reglas, revisa el signo de k: una distancia nunca es negativa.

    Una desigualdad con valor absoluto compara una distancia con un límite. Si la distancia debe ser pequeña, la solución queda dentro de dos extremos; si debe ser grande, queda fuera y se separa en dos regiones.

    La recta numérica permite comprobar el patrón antes de memorizarlo: “menor” conserva el segmento central y “mayor” conserva las dos semirrectas exteriores.

    Qué se resuelve primero

    1. Comprueba si el límite del lado derecho es positivo, cero o negativo.
    2. Identifica el centro: |x − a| mide la distancia de x a a.
    3. Con < o ≤, forma una cadena interior unida por “y”.
    4. Con > o ≥, forma dos condiciones exteriores unidas por “o”.
    5. Despeja la variable en cada miembro o condición.
    6. Dibuja la solución y comprueba un valor interior, uno exterior y los extremos.
    Interior|u| < k → −k < u < kExterior|u| > k → u < −k o u > k

    Repasa el valor absoluto, combina condiciones con desigualdades compuestas, consulta la notación de intervalos en la recta numérica o vuelve al mapa de desigualdades.

    10 ejemplos explicados con recta numérica

    Cada caso conecta interpretación, transformación algebraica, intervalo, dibujo y comprobación numérica.

    Ejemplo 1

    Cercanía estricta

    La distancia al cero debe ser menor que 3.

    1. Interpreta: |x| mide la distancia de x al cero.
    2. Elige el patrón: “Menor que” pide la región interior y usa dos condiciones unidas por “y”.
    3. Transforma: |x| < 3 equivale a −3 < x < 3.
    4. Representa: El intervalo es (−3, 3), con dos extremos abiertos.
    5. Comprueba: x = 2 cumple porque |2| = 2 < 3; x = 3 no cumple.
    Solución−33
    La solución queda dentro de −3 y 3, sin incluir los extremos.
    Ejemplo 2

    Cercanía inclusiva

    La distancia puede llegar exactamente a 4.

    1. Interpreta: Se buscan números a una distancia máxima de 4 respecto del cero.
    2. Elige el patrón: ≤ conserva la región interior e incluye las fronteras.
    3. Transforma: |x| ≤ 4 equivale a −4 ≤ x ≤ 4.
    4. Representa: El intervalo es [−4, 4].
    5. Comprueba: x = −4 cumple porque |−4| = 4; x = 5 queda fuera.
    Solución−44
    El segmento interior incluye −4 y 4.
    Ejemplo 3

    Separación estricta

    La distancia al cero debe superar 2.

    1. Interpreta: Se buscan números situados a más de 2 unidades del cero.
    2. Elige el patrón: “Mayor que” pide las dos regiones exteriores y usa “o”.
    3. Transforma: |x| > 2 equivale a x < −2 o x > 2.
    4. Representa: El intervalo es (−∞, −2) ∪ (2, ∞).
    5. Comprueba: x = −3 y x = 3 cumplen; x = 0 y los extremos no.
    Solución−22
    Dos semirrectas exteriores con puntos abiertos en −2 y 2.
    Ejemplo 4

    Separación inclusiva

    La distancia puede ser 5 o mayor.

    1. Interpreta: Se buscan números separados al menos 5 unidades del cero.
    2. Elige el patrón: ≥ pide las regiones exteriores e incluye las fronteras.
    3. Transforma: |x| ≥ 5 equivale a x ≤ −5 o x ≥ 5.
    4. Representa: El intervalo es (−∞, −5] ∪ [5, ∞).
    5. Comprueba: −5 y 5 cumplen; 0 no cumple.
    Solución−55
    Las regiones exteriores incluyen −5 y 5.
    Ejemplo 5

    Distancia respecto de 1

    La expresión mide qué tan lejos está x del centro 1.

    1. Interpreta: |x − 1| es la distancia entre x y 1.
    2. Elige el patrón: La distancia menor que 2 forma una cadena interior.
    3. Transforma: −2 < x − 1 < 2.
    4. Despeja: Suma 1 en los tres miembros: −1 < x < 3.
    5. Comprueba: x = 1 cumple; x = 3 queda exactamente a 2 y no cumple el signo estricto.
    Solución−13
    La solución queda a menos de 2 unidades del centro 1.
    Ejemplo 6

    Centro en −2

    La suma x + 2 puede leerse como x − (−2).

    1. Interpreta: |x + 2| mide la distancia de x al centro −2.
    2. Elige el patrón: ≤ produce un intervalo interior cerrado.
    3. Transforma: −3 ≤ x + 2 ≤ 3.
    4. Despeja: Resta 2 en los tres miembros: −5 ≤ x ≤ 1.
    5. Comprueba: x = −5 y x = 1 están a 3 unidades de −2; x = 2 está a 4.
    Solución−51
    El intervalo cerrado está centrado en −2.
    Ejemplo 7

    Factor dentro de las barras

    Primero se forma la cadena y después se despeja x.

    1. Interpreta: La distancia de 2x al cero es menor que 6.
    2. Elige el patrón: El signo < produce una cadena interior estricta.
    3. Transforma: −6 < 2x < 6.
    4. Despeja: Divide los tres miembros entre 2 positivo: −3 < x < 3.
    5. Comprueba: x = 2 produce |4| < 6; x = 3 produce |6| < 6, que es falso.
    Solución−33
    Después de dividir entre 2, la solución queda entre −3 y 3.
    Ejemplo 8

    Exterior desplazado

    La distancia al centro 4 debe ser mayor que 1.

    1. Interpreta: |x − 4| mide la distancia de x a 4.
    2. Elige el patrón: > produce dos condiciones exteriores unidas por “o”.
    3. Transforma: x − 4 < −1 o x − 4 > 1.
    4. Despeja: Suma 4: x < 3 o x > 5.
    5. Comprueba: x = 2 y x = 6 cumplen; 4 no cumple y 3 o 5 quedan excluidos.
    Solución35
    Las soluciones quedan fuera del intervalo de 3 a 5.
    Ejemplo 9

    Límite negativo imposible

    Antes de aplicar una fórmula se compara el límite con cero.

    1. Observa el límite: El número del lado derecho es −1, que es negativo.
    2. Usa la propiedad: Todo valor absoluto es mayor o igual que cero.
    3. Compara: Ninguna distancia puede ser menor que −1.
    4. Representa: No se sombrea ningún punto: la solución es ∅.
    5. Comprueba: Incluso x = 0 produce |0| = 0, y 0 < −1 es falso.
    Solución∅
    No existe ningún número real que satisfaga la desigualdad.
    Ejemplo 10

    Límite negativo universal

    La no negatividad del valor absoluto permite decidir sin formar intervalos parciales.

    1. Observa el límite: El lado derecho es −2.
    2. Usa la propiedad: |x| siempre es mayor o igual que cero.
    3. Compara: Todo número no negativo es también mayor que −2.
    4. Representa: Se sombrea toda la recta: la solución es ℝ.
    5. Comprueba: x = 0, x = −10 y x = 10 satisfacen la desigualdad.
    Solución
    Todos los números reales satisfacen la desigualdad.

    Cómo distinguir interior y exterior

    Imagina un círculo de radio k sobre la recta. Estar a menos de k unidades del centro significa permanecer dentro; estar a más de k significa salir por la izquierda o por la derecha. Esa es la razón de usar “y” en el primer caso y “o” en el segundo.

    Error frecuente

    No apliques automáticamente la fórmula ±k cuando k es negativo. Primero usa que todo valor absoluto es mayor o igual que cero; así puedes reconocer un conjunto vacío o todos los reales sin pasos innecesarios.

    Preguntas frecuentes

    ¿Qué significa |x| < k?

    Para k positivo, que x está dentro del intervalo entre −k y k.

    ¿Qué significa |x| > k?

    Para k positivo, que x está en una de las dos regiones exteriores.

    ¿Cuándo se usa “y”?

    En los casos interiores, porque deben cumplirse el límite izquierdo y el derecho.

    ¿Cuándo se usa “o”?

    En los casos exteriores, porque basta estar a la izquierda o a la derecha.

    ¿Qué pasa si k es negativo?

    Se usa primero que el valor absoluto es no negativo; según el signo pedido, la solución puede ser vacía o todos los reales.

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    Pregunta 1 de 10

    Resuelve |x| < 5.

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    Fuentes y revisión editorial

    Cómo citar este artículo

    Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Desigualdades con valor absoluto: reglas y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/desigualdades-con-valor-absoluto/

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