Un producto es positivo cuando sus factores tienen el mismo signo y negativo cuando tienen signos distintos. Como esos signos pueden cambiar al cruzar un cero, la respuesta se obtiene intervalo por intervalo.
La tabla no es un adorno: registra la prueba que justifica por qué se elige una región y se descarta otra.
Cómo construir la tabla de signos
- Lleva la desigualdad a la forma producto comparado con cero.
- Iguala cada factor a cero y ordena los puntos críticos.
- Divide la recta en intervalos.
- Elige un valor de prueba dentro de cada intervalo.
- Anota el signo de cada factor y multiplícalos.
- Selecciona las columnas con el signo solicitado.
- Incluye los ceros únicamente si se admite la igualdad.
Repasa los polinomios y los intervalos. Consulta el mapa de desigualdades o vuelve a las desigualdades de primer grado.
10 ejemplos explicados paso a paso
Cada ejemplo muestra los puntos críticos, los valores de prueba, la tabla completa y la selección de intervalos.
Producto positivo
Se buscan los intervalos donde los factores tienen el mismo signo.
- Factoriza: La expresión ya está factorizada.
- Ceros: x + 2 = 0 da −2; x − 1 = 0 da 1.
- Intervalos: Los ceros dividen la recta en (−∞, −2), (−2, 1) y (1, ∞). Prueba −3, 0 y 2.
- Lee la tabla: El producto tiene signos +, − y +.
- Elige: Como se pide > 0, toma los dos intervalos positivos y excluye los ceros.
| Expresión | x < −2 | −2 < x < 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| x − 1 | − | − | + |
| x + 2 | − | + | + |
| Producto | + | − | + |
Producto negativo
Se usa la misma tabla, pero se selecciona el signo negativo.
- Factoriza: La expresión ya es un producto.
- Ceros: Los puntos críticos son −2 y 1.
- Intervalos: Prueba −3, 0 y 2 en los tres intervalos.
- Lee la tabla: Solo el intervalo central produce signo negativo.
- Elige: Como se pide < 0, toma (−2, 1) y excluye ambos ceros.
| Expresión | x < −2 | −2 < x < 1 | x > 1 |
|---|---|---|---|
| x − 1 | − | − | + |
| x + 2 | − | + | + |
| Producto | + | − | + |
Producto no negativo
El signo ≥ permite incluir los ceros.
- Factoriza: La expresión ya está factorizada.
- Ceros: x + 1 = 0 da −1; x − 3 = 0 da 3.
- Intervalos: Prueba −2, 0 y 4.
- Lee la tabla: El producto es positivo fuera y negativo dentro.
- Elige: Toma los intervalos positivos y añade −1 y 3 porque se admite el cero.
| Expresión | x < −1 | −1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| x − 3 | − | − | + |
| x + 1 | − | + | + |
| Producto | + | − | + |
Producto no positivo
El intervalo central se cierra en ambos extremos.
- Factoriza: La expresión ya está factorizada.
- Ceros: Los ceros ordenados son −1 y 3.
- Intervalos: Prueba −2, 0 y 4.
- Lee la tabla: El único signo negativo aparece entre −1 y 3.
- Elige: Toma el intervalo central e incluye los ceros por el signo ≤.
| Expresión | x < −1 | −1 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| x − 3 | − | − | + |
| x + 1 | − | + | + |
| Producto | + | − | + |
Factor x
El cero también puede aparecer como punto crítico.
- Factoriza: La expresión ya es x(x − 4).
- Ceros: x = 0 y x − 4 = 0 da 4.
- Intervalos: Prueba −1, 2 y 5.
- Lee la tabla: El producto es +, − y +.
- Elige: Toma x < 0 o x > 4; como > es estricto, excluye 0 y 4.
| Expresión | x < 0 | 0 < x < 4 | x > 4 |
|---|---|---|---|
| x | − | + | + |
| x − 4 | − | − | + |
| Producto | + | − | + |
Intervalo central cerrado
Se selecciona el signo negativo y también los ceros.
- Factoriza: La expresión ya es un producto.
- Ceros: Los puntos críticos son 0 y 4.
- Intervalos: Prueba −1, 2 y 5.
- Lee la tabla: El producto es negativo únicamente entre 0 y 4.
- Elige: Con ≤, incluye los puntos donde el producto vale cero: [0, 4].
| Expresión | x < 0 | 0 < x < 4 | x > 4 |
|---|---|---|---|
| x | − | + | + |
| x − 4 | − | − | + |
| Producto | + | − | + |
Raíz doble estricta
Una raíz de multiplicidad par no cambia el signo.
- Factoriza: (x + 2)² = (x + 2)(x + 2).
- Cero: La única raíz es −2 y aparece dos veces.
- Intervalos: Prueba −3 a la izquierda y 0 a la derecha.
- Lee la tabla: El cuadrado es positivo en ambos intervalos; el signo no cambia al cruzar −2.
- Elige: Se piden valores positivos: todos excepto −2, donde el producto vale cero.
| Expresión | x < −2 | x > −2 |
|---|---|---|
| x + 2 | − | + |
| (x + 2)² | + | + |
Cuadrado no negativo
El cero se añade a los dos intervalos positivos.
- Factoriza: Es el cuadrado de x + 2.
- Cero: La raíz doble es x = −2.
- Intervalos: A ambos lados el cuadrado es positivo.
- Lee la tabla: No aparece ningún intervalo negativo.
- Elige: Como ≥ admite también cero, −2 se incluye y la solución es todo ℝ.
| Expresión | x < −2 | x > −2 |
|---|---|---|
| x + 2 | − | + |
| (x + 2)² | + | + |
Diferencia de cuadrados
Primero debe aparecer el producto que permitirá estudiar signos.
- Factoriza: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Ceros: Los puntos críticos son −3 y 3.
- Intervalos: Prueba −4, 0 y 4.
- Lee la tabla: El producto tiene signos +, − y +.
- Elige: Toma el intervalo negativo (−3, 3); los ceros se excluyen por <.
| Expresión | x < −3 | −3 < x < 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|
| x − 3 | − | − | + |
| x + 3 | − | + | + |
| Producto | + | − | + |
Contraste sin ceros reales
Antes de construir intervalos, comprueba si existen puntos críticos.
- Observa: x² nunca es negativo para valores reales.
- Ceros: x² + 2 = 0 exigiría x² = −2, que no tiene solución real.
- Intervalos: Sin ceros reales hay un solo intervalo: todo ℝ. Prueba x = 0.
- Lee la tabla: 0² + 2 = 2, de signo positivo; la expresión siempre es al menos 2.
- Elige: No existe ningún intervalo con signo negativo; la solución es ∅.
| Expresión | Todo ℝ |
|---|---|
| x² + 2 | + |
Raíces simples y raíces dobles
Al cruzar una raíz simple, un factor cambia de signo y normalmente cambia también el signo del producto. En una raíz doble, el mismo factor aparece dos veces: ambos cambios se compensan y el producto conserva su signo.
Error frecuente
No concluyas que un producto positivo exige factores positivos. En (x − 1)(x + 2), cuando x = −3 ambos factores son negativos y su producto es positivo.
Preguntas frecuentes
¿Por qué se prueba un valor por intervalo?
Porque dentro de ese intervalo ningún factor cruza un cero y, por tanto, el signo permanece constante.
¿Cuándo se incluyen los ceros?
Con ≤ o ≥, siempre que la expresión esté definida.
¿Un producto positivo exige factores positivos?
No. También es positivo cuando todos los cambios producen un número par de factores negativos.
¿Qué ocurre en una raíz doble?
El signo no cambia al cruzarla porque el factor repetido cambia dos veces.
¿Qué pasa si no hay ceros reales?
Se estudia el signo en todo ℝ; puede resultar conjunto vacío o todos los reales.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
Los ceros de (x − 2)(x + 1) son:
Pregunta 2 de 10
En x < −1, los signos de x−2 y x+1 son:
Pregunta 3 de 10
Resuelve (x − 2)(x + 1) > 0.
Pregunta 4 de 10
Resuelve (x − 2)(x + 1) < 0.
Pregunta 5 de 10
Con ≥, los ceros permitidos:
Pregunta 6 de 10
¿Por qué basta un valor de prueba por intervalo?
Pregunta 7 de 10
(x − 4)² > 0 se cumple:
Pregunta 8 de 10
(x − 4)² ≥ 0 se cumple:
Pregunta 9 de 10
Resuelve x² − 16 < 0.
Pregunta 10 de 10
x² + 1 < 0 tiene:
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Desigualdades factorizables: método de signos y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/desigualdades-factorizables/
Fuentes consultadas
- OpenStax, Intermediate Algebra 2e: Solve Quadratic InequalitiesCeros, intervalos de prueba y signo de expresiones cuadráticas.
- OpenStax, Intermediate Algebra 2e: Solve Linear InequalitiesDesigualdades lineales, inversión del signo, gráfica e intervalos.
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