Espacio completo: definición y ejemplos

Qué es un espacio métrico

Un espacio métrico es un par (X, d): un conjunto X y una función de distancia d. Para todos x, y, z ∈ X, la métrica cumple:

• d(x,y) ≥ 0, y d(x,y) = 0 exactamente cuando x = y.
• d(x,y) = d(y,x).
• d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), la desigualdad triangular.

La completitud no pertenece al conjunto aislado: se estudia respecto de una métrica. Por eso es necesario indicar tanto los puntos del espacio como la distancia utilizada.

Qué es una sucesión de Cauchy

Una sucesión (x_n) en (X,d) es de Cauchy si sus términos se vuelven arbitrariamente próximos entre sí:

Para todo ε > 0 existe N ∈ ℕ tal que m,n ≥ N implica d(x_m,x_n) < ε.

La definición compara todos los términos suficientemente avanzados, no solo dos puntos fijos ni distancias consecutivas. Tampoco exige que una distancia llegue a ser exactamente cero; exige que pueda hacerse menor que cualquier tolerancia positiva.

Definición de espacio completo

Un espacio métrico (X,d) es completo si toda sucesión de Cauchy formada por puntos de X converge a un límite que también pertenece a X.

(x_n) es de Cauchy en X ⇒ existe x ∈ X tal que d(x_n,x) → 0.

Una sucesión puede ser de Cauchy y tener límite en un espacio mayor, pero no en el espacio estudiado. En ese caso el espacio no es completo. Esto ocurre con los racionales bajo la distancia usual.

Diferencia entre cerrado, completo, compacto y acotado

Todo espacio es cerrado en sí mismo, incluso uno incompleto. Por ejemplo, ℚ es cerrado como subconjunto de sí mismo, pero no es completo con la métrica usual. La equivalencia entre “cerrado” y “completo” necesita un espacio ambiente completo y la métrica inducida.

10 ejemplos básicos de espacios completos e incompletos

1. (ℝ, |x−y|): es completo; toda sucesión real de Cauchy converge a un número real.
2. (ℝⁿ, d₂): es completo con la distancia euclídea; cada coordenada de una sucesión de Cauchy converge en ℝ.
3. (ℂ, |z−w|): es completo; sus partes real e imaginaria convergen en ℝ.
4. (ℕ, |m−n|): es completo; toda sucesión de Cauchy de naturales es finalmente constante.
5. (ℤ, |m−n|): es completo por el mismo argumento de separación mínima entre enteros distintos.
6. Un conjunto con la métrica discreta: es completo, porque tomar ε = 1/2 obliga a que una sucesión de Cauchy sea finalmente constante.
7. El intervalo [0,1]: es completo con la distancia usual, pues es cerrado en el espacio completo ℝ.
8. (ℚ, |x−y|): no es completo; hay sucesiones racionales de Cauchy cuyo límite real es irracional.
9. El intervalo (0,1): no es completo con la distancia usual; x_n = 1/(n+1) converge a 0, que no pertenece al intervalo.
10. ℝ \ {0}: no es completo con la distancia usual; la sucesión 1/n es de Cauchy, pero su límite excluido es 0.

10 ejemplos de espacios completos explicados paso a paso

1. 1. Por qué los números reales son completos

   Sea (x_n) una sucesión de Cauchy en ℝ. Toda sucesión de Cauchy es acotada; por el teorema de Bolzano-Weierstrass posee una subsucesión convergente.

   Una sucesión de Cauchy con una subsucesión que converge a x converge completa al mismo x. Como x ∈ ℝ, el espacio es completo.

2. 2. Por qué los racionales no son completos

   Definamos x_n = ⌊10ⁿ√2⌋/10ⁿ. Cada término es racional: 1.4, 1.41, 1.414, …. En ℝ, esta sucesión converge a √2, por lo que es de Cauchy.

   Sin embargo, √2 ∉ ℚ; la sucesión no converge a ningún punto de ℚ. Por eso ℚ es incompleto. La causa no es la ausencia de 0: 0 ∈ ℚ.

3. 3. Un intervalo abierto incompleto

   En X = (0,1) con d(x,y)=|x−y|, tomemos x_n = 1/(n+1). Todos sus términos pertenecen a X y la sucesión es de Cauchy.

   Su límite usual es 0, pero 0 ∉ (0,1). Como existe una sucesión de Cauchy sin límite dentro de X, el intervalo es incompleto.

4. 4. Un intervalo cerrado completo

   El intervalo [0,1] es cerrado en ℝ. Si una sucesión en [0,1] es de Cauchy, la completitud de ℝ garantiza que converge a algún número real.

   Como el intervalo es cerrado, contiene ese límite. Por tanto, [0,1] es completo con la métrica inducida.

5. 5. Los naturales con la distancia usual

   Sea (x_n) una sucesión de Cauchy en ℕ. Para ε = 1/2, existe N tal que |x_m−x_n| < 1/2 si m,n ≥ N.

   La distancia entre naturales distintos es al menos 1, así que la desigualdad obliga a x_m=x_n. La sucesión es finalmente constante y converge en ℕ, se incluya o no el 0 en la convención usada.

6. 6. Un conjunto con métrica discreta

   En cualquier conjunto X, definimos d(x,y)=0 si x=y y d(x,y)=1 si son distintos. Esta es la métrica discreta.

   Para ε = 1/2, una sucesión de Cauchy debe satisfacer d(x_m,x_n) < 1/2 desde algún índice. Eso solo ocurre si todos esos términos son iguales; por tanto, el espacio es completo.

7. 7. Los reales sin el cero

   En X = ℝ \ {0}, cada término de x_n=1/n pertenece a X. La sucesión converge a 0 en ℝ y, por ello, es de Cauchy.

   El único límite posible es 0, que fue eliminado. La sucesión no converge en X, de modo que el espacio es incompleto.

8. 8. Una bola abierta en el plano

   Consideremos B = {(x,y) ∈ ℝ² : x²+y² < 1}. Los puntos p_n = (1−1/n,0), con n ≥ 2, están dentro de la bola y forman una sucesión de Cauchy.

   En ℝ² convergen a (1,0), un punto de la frontera que no pertenece a B. Por tanto, la bola abierta es incompleta.

9. 9. El disco cerrado en el plano

   Sea D = {(x,y) ∈ ℝ² : x²+y² ≤ 1}. El espacio ℝ² con la distancia euclídea es completo y D es cerrado en él.

   Una sucesión de Cauchy en D converge en ℝ², y la cerradura de D obliga a que su límite permanezca en el disco. Así, D es completo.

10. 10. Funciones continuas con la norma uniforme

    En C([0,1]), la distancia uniforme es d(f,g)=sup_x∈[0,1]|f(x)−g(x)|. Si una sucesión de funciones es de Cauchy para esta distancia, converge uniformemente a una función límite.

    El límite uniforme de funciones continuas es continuo, así que permanece en C([0,1]). Este espacio es completo y, con su norma del supremo, es un espacio de Banach.

Cómo comprobar si un espacio es completo

1. Especifica la métrica. No basta con nombrar el conjunto.
2. Toma una sucesión de Cauchy arbitraria. Para demostrar completitud, el argumento debe servir para todas.
3. Encuentra un límite candidato. Puede utilizarse un espacio completo mayor o una descripción por coordenadas.
4. Comprueba que el límite pertenece al espacio. Este paso distingue muchos subespacios completos de los incompletos.
5. Para refutar la completitud, basta un contraejemplo. Exhibe una sucesión de Cauchy cuyo límite queda fuera del espacio.

Errores frecuentes

• Definir una sucesión de Cauchy como una lista de distancias que simplemente disminuyen.
• Exigir que la distancia llegue exactamente a cero, en vez de ser menor que todo ε > 0.
• Analizar dos puntos fijos en lugar de todos los términos avanzados de una sucesión.
• Afirmar que ℚ no contiene el 0; en realidad, 0 ∈ ℚ.
• Justificar la completitud de ℕ mediante un supuesto extremo, en vez de probar que toda sucesión de Cauchy es finalmente constante.
• Confundir “cerrado en sí mismo” con “completo”.
• Suponer que ser acotado o tener extremos basta para garantizar completitud.

Alcance del tema

Esta guía se limita a la completitud de espacios métricos, sucesiones de Cauchy y ejemplos elementales. Las completaciones, los espacios de Banach e Hilbert, la compacidad total y el teorema del punto fijo requieren desarrollos propios; solo se mencionan cuando ayudan a delimitar el concepto.

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