Problemas con desigualdades: planteamiento y ejemplos

Para participar se requieren al menos 18 años.

1. Variable: a = edad de la persona, en años cumplidos.
2. Palabra clave: “Al menos” incluye el límite, por eso se usa ≥.
3. Planteamiento: a ≥ 18. No hace falta despejar porque la variable ya está aislada.
4. Comprobación: 18 sí cumple; 17 no cumple.
5. Respuesta: Pueden participar las personas de 18 años o más.

Cada artículo cuesta 12 y el presupuesto no puede superar 60.

1. Variable: x = número de artículos; x debe ser un entero no negativo.
2. Palabra clave: “No puede superar 60” significa gasto ≤ 60.
3. Planteamiento: 12x ≤ 60. Divide entre 12, que es positivo: x ≤ 5.
4. Comprobación: 5 artículos cuestan 60 y sí caben; 6 cuestan 72 y ya exceden el presupuesto.
5. Respuesta: Se pueden comprar como máximo 5 artículos.

Se comienza con 40 y se ahorran 15 por semana hasta reunir al menos 100.

1. Variable: w = semanas de ahorro; w es un entero no negativo.
2. Palabra clave: “Al menos 100” incluye 100, así que el total debe ser ≥ 100.
3. Planteamiento: 40 + 15w ≥ 100; resta 40: 15w ≥ 60; divide entre 15: w ≥ 4.
4. Comprobación: Con 4 semanas hay 100; con 3 hay 85 y no alcanza.
5. Respuesta: Se necesitan 4 semanas como mínimo.

Se registran temperaturas estrictamente menores que cero.

1. Variable: t = temperatura en grados Celsius.
2. Palabra clave: “Bajo cero” excluye el 0, por eso se usa < y no ≤.
3. Planteamiento: t < 0. La variable ya está aislada.
4. Comprobación: −1 °C cumple; 0 °C no cumple.
5. Respuesta: Se aceptan todas las temperaturas negativas.

Un vehículo admite como máximo 8 pasajeros.

1. Variable: p = número de pasajeros; p es un entero no negativo.
2. Palabra clave: “Como máximo” incluye 8 y se traduce p ≤ 8.
3. Planteamiento: El contexto añade p ≥ 0; por tanto, 0 ≤ p ≤ 8.
4. Comprobación: 8 pasajeros sí están permitidos; 9 exceden la capacidad.
5. Respuesta: Puede transportar de 0 a 8 pasajeros; el máximo es 8.

Para superar la prueba se exige obtener más de 70 puntos.

1. Variable: s = puntuación obtenida.
2. Palabra clave: “Más de 70” excluye 70 y se escribe >.
3. Planteamiento: s > 70.
4. Comprobación: 70 no basta; 71 sí cumple.
5. Respuesta: Si la puntuación es entera, se necesitan al menos 71 puntos.

Un valor debe estar entre 10 y 20, incluidos ambos extremos.

1. Variable: x = valor que se desea comprobar.
2. Palabra clave: “Incluidos” exige usar ≤ en los dos límites.
3. Planteamiento: x ≥ 10 y x ≤ 20; juntas se escriben 10 ≤ x ≤ 20.
4. Comprobación: 10 y 20 cumplen; 9.9 y 20.1 quedan fuera.
5. Respuesta: El valor puede ser cualquiera desde 10 hasta 20, incluidos ambos.

La temperatura puede separarse como máximo 5 grados de 30 °C.

1. Variable: t = temperatura real en grados Celsius.
2. Palabra clave: “A no más de 5 de 30” describe una distancia máxima: |t − 30| ≤ 5.
3. Planteamiento: Convierte la distancia en −5 ≤ t − 30 ≤ 5; suma 30: 25 ≤ t ≤ 35.
4. Comprobación: 25 y 35 están a 5 grados de 30; 36 está a 6 y no cumple.
5. Respuesta: La temperatura permitida va de 25 °C a 35 °C, incluidos los extremos.

Un taxi cobra 4 de inicio y 3 por kilómetro; se dispone de hasta 25.

1. Variable: k = kilómetros recorridos; k no puede ser negativo.
2. Palabra clave: “Hasta 25” significa que el costo total debe ser ≤ 25.
3. Planteamiento: 4 + 3k ≤ 25; resta 4: 3k ≤ 21; divide entre 3: k ≤ 7. Con el contexto: 0 ≤ k ≤ 7.
4. Comprobación: A 7 km cuesta 25; a 8 km costaría 28 y excedería el límite.
5. Respuesta: Con ese presupuesto se pueden recorrer como máximo 7 km.

La ganancia 5x − 30 debe ser mayor que 20.

1. Variable: x = unidades vendidas; x es un entero no negativo.
2. Palabra clave: “Debe superar 20” excluye 20 y se traduce > 20.
3. Planteamiento: 5x − 30 > 20; suma 30: 5x > 50; divide entre 5: x > 10.
4. Comprobación: Con 10 unidades la ganancia es 20 y no basta; con 11 es 25 y sí cumple.
5. Respuesta: Deben venderse al menos 11 unidades.