La ruta se parece a la de una ecuación, pero el resultado es un conjunto de valores. Por eso no basta llegar a x < 4: hay que reconocer si el extremo se incluye y verificar valores a ambos lados.
La inversión del signo no ocurre por “mover un negativo”. Ocurre únicamente en el paso donde ambos miembros se multiplican o dividen por una cantidad negativa.
Qué se resuelve primero
- Simplifica cada miembro.
- Reúne los términos con variable.
- Deshaz sumas o restas exteriores.
- Divide por el coeficiente de la variable.
- Invierte el signo solo si ese coeficiente es negativo.
- Escribe el intervalo y prueba un valor interior y otro exterior.
Consulta las propiedades de las desigualdades, la guía de intervalos y el panorama de desigualdades.
10 ejemplos explicados paso a paso
Cada caso distingue la transformación algebraica, la regla del signo, el intervalo y dos valores de comprobación.
Suma exterior
Restar conserva la dirección del signo.
- Observa: A x se le suma 4.
- Primera decisión: Resta 4 en ambos miembros.
- Transforma: x > 5; el signo se conserva porque solo restaste.
- Solución: x > 5, es decir, el intervalo (5, ∞).
- Comprueba: 6 sí cumple: 10 > 9. El 5 no cumple: 9 no es mayor que 9.
Resta exterior
Sumar conserva el signo e incluye el extremo.
- Observa: A x se le resta 3.
- Primera decisión: Suma 3 a ambos miembros.
- Transforma: x ≤ 10; no hay inversión.
- Solución: (−∞, 10], con 10 incluido.
- Comprueba: 10 sí cumple: 7 ≤ 7. El 11 no cumple: 8 ≤ 7 es falso.
Coeficiente positivo
Dividir por un positivo conserva la desigualdad.
- Observa: x está multiplicada por 5.
- Primera decisión: Divide ambos miembros entre 5.
- Regla del signo: Como 5 es positivo, < se conserva.
- Solución: x < 4, intervalo (−∞, 4).
- Comprueba: 3 sí cumple: 15 < 20. El 4 no cumple: 20 < 20 es falso.
Divisor positivo
Multiplicar por un positivo conserva el signo.
- Observa: x está dividida entre 2.
- Primera decisión: Multiplica ambos miembros por 2.
- Regla del signo: Como 2 es positivo, ≥ se conserva.
- Solución: x ≥ 6, intervalo [6, ∞).
- Comprueba: 6 sí cumple: 3 ≥ 3. El 5 no cumple: 2.5 ≥ 3 es falso.
Coeficiente negativo
La división negativa invierte la dirección.
- Observa: x está multiplicada por −3.
- Primera decisión: Divide ambos miembros entre −3.
- Regla del signo: Al dividir por un negativo, > se invierte y queda <.
- Solución: x < −4, intervalo (−∞, −4).
- Comprueba: −5 sí cumple: 15 > 12. El −4 no cumple: 12 > 12 es falso.
Divisor negativo
Multiplicar por −2 invierte ≤.
- Observa: x está dividida entre −2.
- Primera decisión: Multiplica ambos miembros por −2.
- Regla del signo: Como el factor es negativo, ≤ cambia a ≥.
- Solución: x ≥ −10, intervalo [−10, ∞).
- Comprueba: −10 sí cumple: 5 ≤ 5. El −11 no cumple: 5.5 ≤ 5 es falso.
Dos capas
Se retira primero la suma exterior.
- Observa: Para llegar a x aparecen primero +1 y después ×2.
- Primera decisión: Resta 1: 2x < 8.
- Regla del signo: Divide entre 2 positivo; < se conserva.
- Solución: x < 4.
- Comprueba: 3 sí cumple: 7 < 9. El 4 no cumple: 9 < 9 es falso.
Dos pasos y negativo
La inversión ocurre solo al dividir por −2.
- Observa: El término variable es −2x y además se suma 7.
- Primera decisión: Resta 7: −2x ≥ −6; restar no invierte el signo.
- Regla del signo: Divide entre −2 e invierte ≥ a ≤.
- Solución: x ≤ 3.
- Comprueba: 3 sí cumple: 1 ≥ 1. El 4 no cumple: −1 ≥ 1 es falso.
Variable en ambos miembros
Se reúne x antes de aislarla.
- Observa: Hay términos con x en ambos miembros.
- Primera decisión: Resta x en ambos lados: 2x − 5 ≤ 7.
- Transforma: Suma 5: 2x ≤ 12; divide entre 2 positivo.
- Solución: x ≤ 6.
- Comprueba: 6 sí cumple: 13 ≤ 13. El 7 no cumple: 16 ≤ 14 es falso.
Coeficiente decimal positivo
El decimal positivo no cambia el sentido.
- Observa: A 0.5x se le suma 2.
- Primera decisión: Resta 2: 0.5x > 3.
- Regla del signo: Divide entre 0.5, que es positivo; > se conserva.
- Solución: x > 6.
- Comprueba: 7 sí cumple: 5.5 > 5. El 6 no cumple: 5 > 5 es falso.
Cómo comprobar un intervalo
Elige un valor que pertenezca a la solución y otro que quede fuera. Si el extremo está incluido, pruébalo también. Esta comparación detecta tanto errores de cálculo como una inversión incorrecta del signo.
Error frecuente
Sumar o restar un número negativo no invierte el signo. En x − 3 ≤ 7 puedes sumar 3 y conservar ≤. La inversión aparece únicamente al multiplicar o dividir por un negativo.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo se invierte exactamente el signo?
Al multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo.
¿Restar un número negativo invierte el signo?
No. Sumar o restar la misma cantidad conserva el orden.
¿Qué se comprueba al final?
Un valor que pertenece, otro que no pertenece y el extremo cuando corresponda.
¿Cómo sé si el extremo se incluye?
Los signos ≤ y ≥ lo incluyen; < y > lo excluyen.
¿Puede quedar una fracción como extremo?
Sí. El conjunto solución no tiene que comenzar o terminar en un entero.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
Resuelve x + 5 > 8.
Pregunta 2 de 10
Resuelve 4x ≤ 20.
Pregunta 3 de 10
Resuelve −2x < 8.
Pregunta 4 de 10
En 7 − 2x ≥ 1, ¿cuándo se invierte el signo?
Pregunta 5 de 10
Resuelve x/(−3) ≥ 2.
Pregunta 6 de 10
¿Qué valor confirma x < 4 en 2x + 1 < 9?
Pregunta 7 de 10
¿Qué valor demuestra que x ≤ 6 no admite x = 7?
Pregunta 8 de 10
¿Cuál intervalo representa x ≥ −10?
Pregunta 9 de 10
¿Qué operación conserva siempre el signo?
Pregunta 10 de 10
Si al simplificar queda 3 < 8, la solución es:
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Desigualdades de primer grado: cómo resolverlas y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/desigualdades-de-primer-grado/
Fuentes consultadas
- OpenStax, Intermediate Algebra 2e: Solve Linear InequalitiesDesigualdades lineales, inversión del signo, gráfica e intervalos.
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