Ejemplo de Espacio Completo

El Análisis Matemático es la rama de las ciencias matemáticas que se encarga del estudio del espacio completo, que es un tipo de espacio métrico.

Un espacio métrico está formado por pares de puntos y una función de distancia entre ellos; en estos espacios es posible definir una sucesión de Cauchy que está formada por distancias cada vez más pequeñas entre estos dos puntos. Cuando en el espacio métrico ya no es posible encontrar una distancia más pequeña en la sucesión entonces se tiene un espacio completo. Los conjuntos numéricos cerrados, es decir aquellos en los cuales se tiene un límite, son espacios completos.

Ejemplo de Espacio Completo:

El conjunto de los números naturales, incluido el 0, es un espacio completo ya que este conjunto es cerrado por el extremo del 0. La representación de este conjunto numérico es N= [0, 1, 2,… n}.

Tomemos dos puntos cualesquiera entre dos elementos de este conjunto,  por ejemplo el 4 y el 8, representado de la siguiente forma p = (4, 8),  la función de distancia entre dos puntos vale 4, la sucesión de Cauchy está dada por la secuencia {4, 3, 2, 1, 0} que converge en 0.

Otro ejemplo es el conjunto de los número reales positivos formados con el {0} que se representa como E⁺= [0, 1, 2, 3, 4,…. N}, ya que dados dos puntos en este espacio la sucesión de Cauchy va a converger en el momento en la distancia sea 0

El conjunto de número racionales no es un espacio completo, pues la distancia 0 (el número 0 como número no existe en este conjunto) lo que hace que la sucesión de Cauchy no sea convergente en ningún punto de este conjunto.

Cualquier intervalo cerrado de los números naturales es un espacio completo.