Derivadas: qué son, reglas y ejemplos

Qué es una derivada

La derivada de una función mide cómo cambia su valor cuando cambia la variable independiente. En un punto, representa la tasa de cambio instantánea y, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica, siempre que esa pendiente exista.

En una función lineal, la pendiente es constante y su derivada también. En una curva, la pendiente puede cambiar de un punto a otro.

Tasa de cambio media e instantánea

La tasa media compara dos puntos. La tasa instantánea observa qué ocurre cuando el segundo punto se acerca indefinidamente al primero.

El límite no exige que h llegue a ser cero dentro del cociente; describe el valor al que se aproxima la razón cuando h tiende a cero.

Definición de la derivada mediante un límite

La función derivada se define por:

f′(x) = lim_h→0 [f(x+h) − f(x)] / h

Este límite debe existir y ser finito para que la función sea derivable en el punto considerado. La definición permite obtener derivadas desde la tasa de cambio, aunque para calcularlas con rapidez se usan reglas de diferenciación.

Reglas básicas de derivación

Estas reglas se aplican donde las funciones involucradas sean derivables y las expresiones estén definidas.

La regla de la potencia se apoya en el manejo de una potencia y su exponente. La regla del producto no consiste en multiplicar las derivadas, y la del cociente no consiste en dividirlas.

10 ejemplos básicos de derivadas

1. f(x) = 7: f′(x) = 0.
2. f(x) = x: f′(x) = 1.
3. f(x) = x²: f′(x) = 2x.
4. f(x) = x⁵: f′(x) = 5x⁴.
5. f(x) = 3x²: f′(x) = 6x.
6. f(x) = x³ + 4x: f′(x) = 3x² + 4.
7. f(x) = 2x⁴ − 5x² + 1: f′(x) = 8x³ − 10x.
8. f(x) = (2x + 1)x²: f′(x) = 6x² + 2x.
9. f(x) = (x² + 1)/x: f′(x) = (x² − 1)/x², con x ≠ 0.
10. f(x) = √x: f′(x) = 1/(2√x) para x > 0.

10 ejemplos de derivadas explicados paso a paso

1. 1. Derivar f(x) = x² desde la definición

   Sustituimos en el cociente incremental: [f(x+h) − f(x)]/h = [(x+h)² − x²]/h. Al expandir obtenemos [2xh + h²]/h = 2x + h, con h ≠ 0.

   Al tomar h → 0, el límite es 2x. Por tanto, f′(x) = 2x.

2. 2. Hallar la pendiente de f(x) = x² en x = 3

   La derivada de esta función cuadrática es f′(x) = 2x. Evaluamos en 3: f′(3) = 2(3) = 6.

   La recta tangente tiene pendiente 6 y pasa por (3,9): y − 9 = 6(x − 3).

3. 3. Derivar una función lineal

   Para f(x) = 5x − 2, la derivada de 5x es 5 y la derivada de la constante −2 es 0.

   Entonces, f′(x) = 5. La pendiente es la misma en todos los puntos.

4. 4. Derivar un polinomio

   En f(x) = 3x⁴ − 2x² + 7, derivamos término por término: 3·4x³ − 2·2x + 0.

   El resultado simplificado es f′(x) = 12x³ − 4x.

5. 5. Derivar una potencia con exponente negativo

   Reescribimos f(x) = 1/x como x⁻¹. Aplicamos la regla de la potencia: f′(x) = −1·x⁻².

   Por tanto, f′(x) = −1/x², con x ≠ 0.

6. 6. Derivar una raíz cuadrada y evaluar

   Escribimos √x = x^1/2. Su derivada es (1/2)x^−1/2 = 1/(2√x) para x > 0.

   En x = 4, la pendiente es 1/(2√4) = 1/4.

7. 7. Aplicar la regla del producto

   Sea f(x) = (x² + 1)(x − 3). Tomamos u = x² + 1 y v = x − 3, de modo que u′ = 2x y v′ = 1.

   f′(x) = u′v + uv′ = 2x(x − 3) + (x² + 1) = 3x² − 6x + 1.

8. 8. Aplicar la regla del cociente

   Para f(x) = (x² + 1)/x, el numerador tiene derivada 2x y el denominador tiene derivada 1.

   f′(x) = [2x·x − (x² + 1)·1]/x² = (x² − 1)/x², con x ≠ 0.

9. 9. Interpretar una derivada como velocidad

   Si la posición es s(t) = t² + 2t, la velocidad instantánea es su derivada: v(t) = s′(t) = 2t + 2.

   En t = 3, v(3) = 2(3) + 2 = 8 unidades de distancia por unidad de tiempo.

10. 10. Reconocer un punto no derivable

    La función f(x) = |x| es continua en 0, pero forma una esquina. La pendiente por la izquierda es −1 y por la derecha es 1.

    Como los límites laterales del cociente incremental no coinciden, f′(0) no existe.

Cuándo puede no existir una derivada

Una función puede no ser derivable en un punto si allí es discontinua, presenta una esquina o cúspide, o tiene una tangente vertical. Ser derivable implica ser continua en ese punto, pero ser continua no garantiza ser derivable: |x| en 0 es el ejemplo clásico.

Errores frecuentes al derivar

• Confundir la tasa media entre dos puntos con la tasa instantánea en uno.
• Creer que el límite exige sustituir h = 0 antes de simplificar.
• Olvidar que la derivada de una constante es cero.
• Usar (fg)′ = f′g′, que no es la regla del producto.
• Dividir derivadas para obtener la derivada de un cociente.
• Aplicar reglas sin respetar el dominio de la función original.

Qué estudiar después

Esta guía cubre la definición, la interpretación y las reglas elementales. La regla de la cadena, las derivadas trigonométricas, la optimización, la integración y las ecuaciones diferenciales requieren desarrollos propios y no se condensan aquí.

Preguntas frecuentes