Logaritmos: qué son, propiedades y ejemplos

Qué es un logaritmo

Un logaritmo indica el exponente al que debe elevarse una base para obtener una cantidad determinada. Por eso, la forma logarítmica y la forma exponencial expresan la misma relación:

Equivalencia fundamental

log_b(x) = y ⇔ b^y = x

Esta equivalencia exige b > 0, b ≠ 1 y x > 0 cuando se trabaja con números reales.

Por ejemplo, log₂(8) = 3 porque 2³ = 8. El logaritmo es 3: el exponente necesario para convertir la base 2 en 8.

Esta relación parte del concepto de potencia, que conviene dominar antes de evaluar logaritmos.

Partes de un logaritmo y condiciones

El subíndice señala únicamente la base. El resultado del logaritmo no se escribe como subíndice: ocupa el lado derecho de la igualdad. Si necesitas repasar qué representa el número elevado, consulta exponente.

Cómo convertir entre forma exponencial y logarítmica

1. Identifica la base.
2. Identifica el exponente.
3. Identifica el resultado de la potencia.
4. Conserva la misma relación y cambia su notación.

Logaritmo decimal y logaritmo natural

Cuando la base es 10, suele omitirse el subíndice: log(x) significa log₁₀(x). Por ejemplo, log(1000) = 3.

El logaritmo natural usa la base e y se escribe ln(x). Como e¹ = e, se cumple ln(e) = 1. Ambos tipos conservan las mismas restricciones: el argumento debe ser positivo.

Propiedades básicas de los logaritmos

Para argumentos positivos M y N, y una base válida b, se cumplen estas propiedades:

La regla del producto no se aplica a una suma: en general, log_b(M + N) ≠ log_b(M) + log_b(N).

10 ejemplos básicos de logaritmos

1. log₂(8) = 3: porque 2³ = 8.
2. log₅(25) = 2: porque 5² = 25.
3. log(1000) = 3: porque 10³ = 1000.
4. log₃(1) = 0: porque 3⁰ = 1.
5. log₇(7) = 1: porque 7¹ = 7.
6. log₂(1/8) = −3: porque 2⁻³ = 1/8.
7. log₄(2) = 1/2: porque 4^1/2 = 2.
8. ln(e) = 1: porque e¹ = e.
9. ln(1) = 0: porque e⁰ = 1.
10. log(0.01) = −2: porque 10⁻² = 0.01.

10 ejemplos de logaritmos explicados paso a paso

1. 1. Convertir 2⁵ = 32 a forma logarítmica

   La base es 2, el exponente es 5 y el resultado es 32. En la forma logarítmica, la base se coloca como subíndice y 32 queda como argumento.

   El resultado es log₂(32) = 5.

2. 2. Convertir log₃(81) = 4 a forma exponencial

   La base es 3 y el logaritmo 4 funciona como exponente. El argumento 81 es el resultado de la potencia.

   La forma equivalente es 3⁴ = 81.

3. 3. Evaluar log₂(1/16)

   Buscamos el exponente de 2 que produce 1/16. Como 16 = 2⁴, su recíproco es 1/16 = 2⁻⁴.

   Por tanto, log₂(1/16) = −4.

4. 4. Evaluar log₉(3)

   Buscamos el exponente al que debe elevarse 9 para obtener 3. Como la raíz cuadrada de 9 es 3, se cumple 9^1/2 = 3.

   Entonces, log₉(3) = 1/2.

5. 5. Aplicar la propiedad del producto

   log₂(8) + log₂(4) puede reunirse como log₂(8 · 4) porque ambos logaritmos tienen la misma base.

   Así, log₂(32) = 5. También se comprueba con 3 + 2 = 5.

6. 6. Aplicar la propiedad del cociente

   log₃(81) − log₃(9) equivale a log₃(81/9).

   Como 81/9 = 9 y 3² = 9, el resultado es 2. También se verifica con 4 − 2 = 2.

7. 7. Aplicar la propiedad de la potencia

   En log₅(25³), el exponente 3 puede pasar como factor: 3 · log₅(25).

   Como log₅(25) = 2, obtenemos 3 · 2 = 6.

8. 8. Cambiar de base para usar la calculadora

   Para evaluar log₂(10), escribimos log(10) / log(2). La calculadora da aproximadamente 1 / 0.3010.

   El cociente es aproximadamente 3.3219. Es coherente porque 10 está entre 2³ = 8 y 2⁴ = 16.

9. 9. Resolver log₂(x) = 6

   Convertimos la igualdad a forma exponencial: 2⁶ = x.

   Como 2⁶ = 64, la solución es x = 64, que cumple la condición x > 0.

10. 10. Detectar logaritmos no definidos en los reales

    log₁(5) no está definido porque la base no puede ser 1. log₄(−16) tampoco está definido en los números reales porque el argumento es negativo.

    Una expresión logarítmica real necesita siempre una base positiva distinta de 1 y un argumento positivo.

Errores frecuentes con logaritmos

• Colocar el resultado como subíndice. El subíndice corresponde a la base.
• Usar base 0, base negativa o base 1.
• Calcular un logaritmo real de cero o de un número negativo.
• Confundir log(x), de base 10, con ln(x), de base e.
• Aplicar la propiedad del producto a una suma.
• Olvidar que un argumento entre 0 y 1 puede producir un logaritmo negativo.

Cómo seguir aprendiendo

Después de dominar la conversión y las propiedades básicas, el siguiente paso es plantear y comprobar ecuaciones. Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas avanzadas quedan fuera del alcance de esta guía introductoria.

Preguntas frecuentes