Una matriz organiza números en filas y columnas. Cada número es un elemento o entrada. Si A tiene m filas y n columnas, su orden es m × n; por ejemplo, una matriz 2 × 3 tiene dos filas y tres columnas.
El símbolo aᵢⱼ nombra una entrada: i indica la fila y j la columna. Las matrices sirven para organizar datos y representar relaciones, pero no son por definición una lista de ecuaciones ni necesitan un determinante para existir.
Cómo leer y operar una matriz
- Lee la forma: cuenta filas y columnas para escribir el orden m × n.
- Ubica las entradas: en aᵢⱼ, el primer subíndice indica la fila y el segundo la columna.
- Identifica la operación: suma y resta trabajan posición por posición; el producto trabaja fila por columna.
- Comprueba la compatibilidad: no empieces a calcular hasta confirmar que las dimensiones permiten la operación.
- Opera y revisa: conserva la posición de cada resultado y comprueba el orden final.
Las matrices pueden organizar coeficientes de ecuaciones y actuar sobre vectores. Para comprobar productos y escalares, repasa la multiplicación y división.
Primero: una matriz es una tabla de números
Una papelería registra cuántos cuadernos y lápices vendió el lunes y el martes. Las filas representan productos y las columnas representan días.
| Producto | Lunes | Martes |
|---|---|---|
| Cuadernos | 4 | 6 |
| Lápices | 7 | 5 |
Si conservamos solo los números, obtenemos . Tiene dos filas y dos columnas, por eso su orden es 2 × 2.
Mapa de aprendizaje
Mapa de matrices y vectores
Compara arreglos rectangulares con cantidades que tienen componentes, magnitud y dirección.
Etapa 1
Representar componentes
Pasa de filas y columnas a componentes sobre el plano.
10 ejemplos simples de matrices
Los corchetes encierran la matriz; cada línea horizontal es una fila y cada posición vertical pertenece a una columna.
Matriz fila
Tiene una fila y dos columnas: orden 1 × 2.
Matriz columna
Tiene dos filas y una columna: orden 2 × 1.
Matriz cuadrada
Tiene el mismo número de filas y columnas: 2 × 2.
Matriz rectangular
Tiene dos filas y tres columnas: 2 × 3.
Matriz cero
Todos sus elementos son cero.
Matriz identidad
Tiene unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella.
Matriz diagonal
Los elementos fuera de la diagonal principal son cero.
Lectura de un elemento
El primer subíndice indica fila y el segundo, columna.
Suma de matrices fila
Se suman los elementos que ocupan la misma posición.
Multiplicación por escalar
El número 3 multiplica cada elemento.
Antes de operar: comprueba las dimensiones
Suma y resta
A y B deben tener exactamente el mismo orden.
Producto AB
Las columnas de A deben igualar las filas de B.
Orden del producto
AB conserva las filas de A y las columnas de B.
Así se obtiene una entrada del producto
Para calcular la entrada superior izquierda, se combina la primera fila de A con la primera columna de B. Se multiplican las parejas y después se suman.
×
→
10 ejemplos explicados paso a paso
Cada ejemplo indica primero qué dimensiones intervienen y después muestra la operación sin saltarse posiciones.
Determinar el orden de una matriz
El orden se escribe filas × columnas.
- Cuenta las filas: Hay dos líneas horizontales de datos.
- Cuenta las columnas: En cada fila hay tres posiciones.
- Escribe el orden: A es de orden 2 × 3.
Localizar el elemento a₂₃
En aᵢⱼ, i señala la fila y j señala la columna.
- Busca la fila: El primer subíndice es 2: usa la segunda fila.
- Busca la columna: El segundo subíndice es 3: usa la tercera columna.
- Lee la intersección: En esa posición se encuentra el número 6.
Sumar dos matrices
La suma solo está definida cuando ambas matrices tienen las mismas dimensiones.
- Comprueba el orden: Las dos matrices son 2 × 2.
- Suma por posición: 1+5, 2+0, 3+(−1) y 4+2.
- Forma la matriz: El resultado conserva el orden 2 × 2.
Restar dos matrices
La resta también exige dimensiones iguales.
- Comprueba el orden: Ambas matrices son 2 × 2.
- Resta por posición: 7−4, 3−1, 2−6 y 5−2.
- Conserva los signos: El elemento inferior izquierdo es −4.
Multiplicar por un escalar
Un escalar multiplica todos los elementos de la matriz.
- Distribuye el factor: Multiplica −2 por cada entrada.
- Cuida los signos: −2·(−3)=6.
- Ordena el resultado: La matriz continúa siendo 2 × 2.
Calcular la transpuesta
La transpuesta intercambia filas por columnas.
- Toma la primera fila: 1, 2, 3 se convierte en la primera columna.
- Toma la segunda fila: 4, 5, 6 se convierte en la segunda columna.
- Revisa el orden: Una matriz 2 × 3 produce una transpuesta 3 × 2.
Usar la matriz identidad
Multiplicar por la identidad conserva la matriz compatible.
- Reconoce I₂: Tiene unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella.
- Calcula la primera entrada: 1·4+0·2=4; los demás lugares se obtienen de la misma forma.
- Compara: El producto es exactamente la matriz original.
Multiplicar una matriz por un vector columna
Cada fila de la matriz se combina con la columna.
- Primera fila: 2·4+1·2=10.
- Segunda fila: −1·4+3·2=2.
- Escribe la columna: El resultado tiene dos filas y una columna.
Multiplicar dos matrices
Cada entrada del producto se obtiene con una fila de la primera y una columna de la segunda.
- Primera entrada: La primera fila por la primera columna da 1·2+2·1=4.
- Completa la primera fila: La primera fila por la segunda columna da 1·0+2·4=8.
- Repite con la segunda fila: Se obtienen 7 y 4; el resultado es de orden 2 × 2.
Detectar una suma imposible
No todas las matrices pueden sumarse.
- Compara filas: A tiene 2 filas y B tiene 3.
- Compara columnas: A tiene 3 columnas y B tiene 2.
- Concluye: No hay correspondencia posición por posición, así que la suma no está definida.
Cómo comprobar una operación con matrices
- Revisa que el orden del resultado sea el esperado.
- En suma y resta, confirma cada posición por separado.
- En un producto, vuelve a calcular una entrada usando su fila y su columna.
- Si cambiaste el orden de los factores, no supongas que el resultado será igual.
Errores frecuentes
- Escribir columnas × filas en vez de filas × columnas.
- Leer a₂₃ como fila 3, columna 2.
- Sumar matrices de dimensiones diferentes.
- Multiplicar entradas de la misma posición para obtener un producto matricial.
- Suponer que AB y BA siempre producen lo mismo.
Preguntas frecuentes
¿Qué significa que una matriz sea 3 × 2?
Que tiene 3 filas y 2 columnas.
¿Qué es la matriz identidad?
Es una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en las demás posiciones.
¿Se pueden sumar una matriz 2 × 3 y una 3 × 2?
No. La suma exige que ambas tengan exactamente las mismas dimensiones.
¿Cuándo se puede calcular AB?
Cuando el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
¿Toda matriz tiene determinante?
No. El determinante solo se define para matrices cuadradas y merece un procedimiento específico.
Pon a prueba lo aprendido
Pregunta 1 de 10
Una matriz tiene dos filas y tres columnas. ¿Cuál es su orden?
Pregunta 2 de 10
En a₂₃, ¿qué indica el 2?
Pregunta 3 de 10
¿Cómo se reconoce una matriz identidad?
Pregunta 4 de 10
¿Cuándo pueden sumarse A y B?
Pregunta 5 de 10
Si una matriz fila contiene 3 y −1, ¿qué números contiene al multiplicarla por 2?
Pregunta 6 de 10
¿Cuál es la transpuesta de una matriz 2 × 3?
Pregunta 7 de 10
Para calcular A₂×₃B₃×₄, ¿qué orden tiene el resultado?
Pregunta 8 de 10
¿Qué regla produce cada entrada de AB?
Pregunta 9 de 10
¿Qué hace I₂A cuando A es 2 × 2?
Pregunta 10 de 10
¿AB es siempre igual a BA?
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Fuentes y revisión editorial
Cómo citar este artículo
Editorial Ejemplode. (2026, 5 de agosto). Matrices: dimensiones, operaciones y ejemplos. https://www.ejemplode.com/matematicas/matrices/
Fuentes consultadas
- 7.5 Matrices and Matrix OperationsDefinición, dimensiones, notación, suma, multiplicación escalar y producto de matrices.
- Chapter 7 Key EquationsMatrices identidad de orden 2 y 3.
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