Despeje De Variables

En Matemáticas, el Despeje es la técnica que permite dejar sola la variable independiente (“x” generalmente) en una igualdad, para calcular finalmente su valor y resolver un problema.

Vamos a encontrarnos con cinco situaciones básicas en las que necesitemos liberar a la variable independiente, que designaremos por “x”:

1.- Cuando “x” se encuentra sumando

2.- Cuando “x” se encuentra restando

3.- Cuando “x” se encuentra multiplicando

4.- Cuando “x” se encuentra dividiendo

5.- Cuando “x” se encuentra elevada a un exponente

Cada situación va a requerir de un mecanismo diferente de solución que, bien aplicado, nos llevará a la solución buscada.

¿Cómo se despeja una variable?

Veamos unos ejemplos de Despejes

Cuando X se encuentra Sumando

Cuando X se encuentra en operación de Suma, como un Término libre, lo que se hace es pasar el resto de los términos al otro lado del Signo “=” de la igualdad, poniéndoles el signo opuesto. Ya la X queda sola en el lado principal de la igualdad.

2 – 5 + X = 2y + 8

X = 2y + 8 – 2 + 5

1 + 4 + X = 10z – 12

X = 10z – 12 – 1 – 4

– 3 + 7 + X = 9y + 25

X = 9y + 25 + 3 – 7

6 – 2 + X = 3h + 9

X = 3h + 9 – 6 + 2

4 – 36 + X = 2r – 16

X = 2r – 16 – 4 + 36

– 20 + 13 + X = 4k – 65

X = 4k – 65 + 20 – 13

58 – 50 + X = 9n + 90

X = 9n + 90 – 58 + 50

– 8  + 14 + X = 5f – 18

X = 5f – 18 + 8 – 14

64 – 18 + X = 7j + 25

X = 7j + 25 – 64 + 18

– 11 – 6 + X = 2q – 56

X = 2q – 56 + 11 + 6

Cuando X se encuentra Restando

Cuando X se encuentra en operación de Resta, como Término libre, hay primero que pasarla al lado opuesto, para tenerla con el signo positivo, y después la dejamos sola, trasladando el resto de los términos al lado opuesto con signo contrario.

– 6 + 2 = - X – 5h – 9

– 6 + 2 + X = - 5h – 9

X = - 5h – 9 + 6 – 2

 12 + 4k = - X + 32 – 21

12 + 4k + X = 32 – 21

X = 32 – 21 – 12 – 4k

– 46 – 31 = - X + 7u + 60

– 46 – 31 + X = 7u + 60

X = 7u + 60 + 46 + 31

– 18 + 54 = - X + 14f – 6

– 18 + 54 + X = 14f – 6

X = 14f – 6 – 18 – 54

20 + 45 = - X + 4p + 19

20 + 45 + X = 4p + 19

X = 4p + 19 - 20 – 45

– 33 + 17 = - X + 8z – 22

– 33 + 17 + X = 8z – 22

X = 8z – 22 + 33 – 17

– 26 – 68 = - X – 14e + 30

– 26 – 68 + X = - 14e + 30

X = - 14e + 30 + 26 + 68

65 + 22 = - X – 6w + 3

65 + 22 + X = - 6w + 3

X = - 6w + 3 – 65 – 22

37 + 28 = - X + 7d – 96

37 + 28 + X = 7d – 96

X = 7d – 96 – 37 – 28

– 88 + 19 = - X – 10t + 14

– 88 + 19 + X = - 10t + 14

X = - 10t + 14 + 88 – 19 

Cuando X se encuentra Multiplicando

Cuando X se encuentra como parte de un Producto, es decir, Multiplicando, es posible dejarla libre pasando los factores que la acompañan Dividiendo al otro lado.

3X = 2 + 5h

X = (2 + 5h) / 3

5X = 3 – 10g

X = (3 – 10g) / 5

2X = 8 – 9q

X = (8 – 9q) / 2

(2 + 8w)X = 4 – 3w

X = (4 – 3w) / (2 + 8w)

(1 + 3p)X = 18 – 22p

X = (18 -22p) / (1 + 3p)

(4 – 6y)X = 52 - 7y

X = (52 - 7y) / (4 – 6y)

(3 + 1 – 6f)X = 2 + 44f

X = (2 + 44f) / (3 + 1 – 6f)

(12 – 5 + 8z)X = 6 - c

X = (6 - c) / (12 – 5 + 8z)

(6 + 3 – 5t)X = 10 + 2t

X = (10 + 2t) / (6 + 3 – 5t)

(9 – 4 + 3r)X = 5 + 30r

X = (5 + 30r) / (9 – 4 + 3r)

Cuando X se encuentra Dividiendo

Cuando X se encuentra en el denominador de una fracción, acompañada sólo por factores (que multiplican) se puede pasar al lado opuesto, ahora multiplicando.

6 = (12 + 3h)/3X

X*(6) = (12 + 3h)/3

X = (12 + 3h)/3(6) [El 6 pasa dividiendo y deja libre la X]

9 = (4 - 2z)/8X

X*(9) = (4 – 2z)/8

X = (4 – 2z)/8(9) [El 9 pasa dividiendo y deja libre la X]

1 = (7 + 3u)/10X

X*(1) = (7 + 3u)/10

X = (7 + 3u)/10(1) [El 1 pasa dividiendo y deja libre la X]

5 = (100 – 20k)/55X

X*(5) = (100 - 20k)/55

X = (100 – 20k)/55(5) [El 5 pasa dividiendo y deja libre la X]

4 = (68 + 3b)/80X

X*(4) = (68 + 3b)/80

X = (68 + 3b)/80(4) [El 4 pasa dividiendo y deja libre la X]

En el caso de que en el Denominador haya un signo de Suma o Resta acompañando a la X, hay que pasar Multiplicando todo del Denominador, y después ir despejando la X para liberarla del signo de Suma o Resta.

6 = (12 + 3h)/3 + X

(3 + X)*(6) = (12 + 3h)

3 + X = (12 + 3h)/(6) [El 6 pasa dividiendo y deja libre (3 + X)]

X = [(12 + 3h)/(6)] – 3 [El 3 queda restado a todo lo que hay de ese lado]

9 = (4 + 2z)/8 + X

(8 + X)*(9) = (4 + 2z)

8 + X = (4 + 2z)/(9) [El 9 pasa dividiendo y deja libre (8 + X)]

X = [(4 + 2z)/(9)] – 8 [El 8 queda restado a todo lo que hay de ese lado]

1 = (7 + 3u)/10 + X

(10 + X)*(1) = (7 + 3u)

10 + X = (7 + 3u)/(1) [El 1 pasa dividiendo y deja libre (10 + X)]

X = [(7 + 3u)/(1)] – 10 [El 10 queda restado a todo lo que hay de ese lado]

5 = (100 - 20k)/55 + X

(55 + X)*(5) = (100 – 20k)

55 + X = (100 – 20k)/(5) [El 5 pasa dividiendo y deja libre (55 + X)]

X = [(100 – 20k)/(5)] – 55 [El 55 queda restado a todo lo que hay de ese lado]

4 = (68 + 3b)/80 + X

(80 + X)*(4) = (68 + 3b)

80 + X = (68 + 3b)/(4) [El 4 pasa dividiendo y deja libre (80 + X)]

X = [(68 + 3b)/(4)] – 80 [El 80 queda restado a todo lo que hay de ese lado] 

Cuando X se encuentra Elevada a un Exponente

Cuando X se encuentra elevada a un Exponente, lo único que se hace es enviar al otro lado de la igualdad el inverso del exponente, afectando a todo lo que ahí se encuentre.

(X)² = 5 + 2e

X = (5 + 2e)^1/2

(X)³ = 8 + 10p

X = (8 + 10p)^1/3

(X)^3/2 = 20 – 4g

X = (20 - 4g)^2/3

(X)^1/4 = 87 – 60t

X = (87 - 60t)⁴

(X)^5/8 = 63 + 88k

X = (63 + 88k)^8/5

(X)^3/7 = 9 – 24y

X = (9 - 24y)^7/3

(X)^1/10 = 6 – 99q

X = (6 - 99q)¹⁰

(X)⁷ = 45 + 10f

X = (45 + 10f)^1/7

(X)^5/2 = 9 + 33a

X = (9 + 33a)^2/5

(X)²³ = 90 – 35d

X = (90 - 35d)^1/23