Productos Notables

En álgebra se conoce como productos notables a los resultados de una multiplicación, que siempre cumplen las mismas reglas, independientemente de los coeficientes que lo forman, por lo que el resultado se puede escribir directamente, sin realizar la multiplicación.

Los productos notables son multiplicaciones de polinomios cuyo resultado conserva una misma estructura, o sea, que el resultado cumple reglas filas. La importancia de conocer los productos consiste en que al tener por resolver una de estas operaciones, es que no será necesario realizar todas las operaciones indicadas, sino que podremos escribir el resultado al identificar la estructura de producto notable.

Los principales productos notables son los siguientes:

Cuadrado de la suma de dos cantidades: (c+d)²

En este caso, tenemos binomio formado por la suma de dos cantidades, el cual tenemos que elevar al cuadrado. La regla de producto notable es la siguiente:

Regla: El producto del cuadrado de la suma de dos cantidades, es igual al cuadrado del primer coeficiente, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Explicación y comprobación: Elevar al cuadrado un binomio formado por una suma, es multiplicarlo por sí mismo. En nuestro ejemplo, tenemos el binomio c+d. Entonces, la multiplicación será la siguiente:

Al multiplicar (c + d) por la letra c, el producto es (c², + cd). Al multiplicar (c + d) por d, el producto es (cd + d²). Al agrupar los términos comunes, el resultado es la suma de los dos términos cd, que nos da como resultado 2cd. Eso comprueba la regla de este producto notable, o sea, que el resultado es igual al cuadrado del primer coeficiente, (c²) más el doble del producto del primer coeficiente por el segundo (2cd) más el cuadrado del segundo (d²).

Este producto notable es válido para cualquier valor que tengan los elementos del binomio, siempre que tenga la forma (a + b)². Por ejemplo, los siguientes:

(2m + n)² = Cuadrado del primer coeficiente: 4m²; más el doble del producto del primer coeficiente por el segundo: 4mn; el cuadrado del segundo coeficiente: n² = 4m² + 4mn + n².

(x² + 3y)² = Cuadrado del primer coeficiente: x⁴; más el doble del producto del primer coeficiente por el segundo: 6x²y; el cuadrado del segundo coeficiente: 9y² = x⁴ + 6x²y + 9y².

Cuadrado de la resta de dos cantidades: (c–d)²

En este caso, tenemos binomio formado por la resta de dos cantidades, que elevaremos al cuadrado. La regla de producto notable es la siguiente:

Regla: El producto del cuadrado de la resta de dos cantidades, es igual al cuadrado del primer coeficiente, menos el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

Explicación y comprobación: En el caso del cuadrado de un binomio que es una resta, multiplicamos por números negativos, por lo que el resultado de los productos de los coeficientes será de signo negativo En nuestro ejemplo, tenemos el binomio c+d. Entonces, la multiplicación será la siguiente:

Al multiplicar (c + d) por la letra c, el producto es (c², – cd). Al multiplicar (c + d) por d, el producto es (–cd + d²). Al agrupar los términos comunes, el resultado es la suma de los dos términos –cd, nos da como resultado –2cd. Eso comprueba la regla de este producto notable, o sea, que el resultado es igual al cuadrado del primer coeficiente, (c²) menos el doble del producto del primer coeficiente por el segundo (–2cd) más el cuadrado del segundo (d²).

Este producto notable es válido para cualquier valor que tengan los elementos del binomio, siempre que tenga la forma (a – b)². Por ejemplo, los siguientes:

(2m – n)² = Cuadrado del primer coeficiente: 4m²; menos el doble del producto del primer coeficiente por el segundo: – 4mn; el cuadrado del segundo coeficiente: n² = 4m² – 4mn + n².

(x² + 3y)² = Cuadrado del primer coeficiente: x⁴; menos el doble del producto del primer coeficiente por el segundo: –6x²y; el cuadrado del segundo coeficiente: 9y² = x⁴ – 6x²y + 9y².

Producto de la suma por la resta de dos cantidades: (c+d)(c–d)

En este caso, tenemos dos binomios con los mismos coeficientes, uno de ellos es una suma, mientras que el otro es una resta, y los multiplicaremos entre sí. La regla de este producto notable es la siguiente:

Regla: El producto de la multiplicación de una suma por la resta de dos cantidades, es igual al cuadrado del primer coeficiente menos el cuadrado del segundo coeficiente

Explicación y comprobación: En el caso esta multiplicación, tememos los mismos coeficientes, y sólo cambia el signo de uno de ellos. Al realizar la multiplicación, los resultados será la siguiente:

Al multiplicar (c + d) por la letra c, el producto es (c², + cd). Al multiplicar (c + d) por –d, el producto es (–cd – d²). Al agrupar los términos comunes, el resultado es 0, ya que uno es positivo y el otro es negativo, por lo que se anulan. Al multiplicar la letra d, tenemos que al ser una de ellas de signo negativo, el resultado es un cuadrado negativo. Eso comprueba la regla de este producto notable, o sea, que el resultado es igual al cuadrado del primer coeficiente, (c²) menos el cuadrado del segundo (–d²).

Este producto notable es válido para cualquier valor que tengan los elementos del binomio, siempre que tenga la forma (a + b)(a – b). Por ejemplo, los siguientes:

(2m – n)² = Cuadrado del primer coeficiente: 4m²; menos el cuadrado del segundo coeficiente: –n² = 4m² –n².

(x² + 3y)² = Cuadrado del primer coeficiente: x⁴; menos el cuadrado del segundo coeficiente: –9y² = x⁴ – 9y².

Producto de la suma de dos cantidades: (c+#)(c+#)

En nuestro ejemplo, el signo #, representa un valor numérico. Aquí tenemos dos binomios con un coeficiente en común, y dos coeficientes numéricos. Esta regla nos sirve tanto si el coeficiente numérico tiene signo positivo como si el signo es negativo:

Regla: El producto de la multiplicación es igual al cuadrado del primer coeficiente, más la suma de los coeficientes numéricos multiplicados por el literal, más el producto de los coeficientes numéricos.

Explicación y comprobación: En esta multiplicación, multiplicamos primero por la litera, y luego por el valor numérico:

Al multiplicar (c + 3) por la letra c, el producto es (c², + 3c). Al multiplicar (c + 3) por –2, el producto es (–2c – 6). Al agrupar los términos comunes, el resultado es  c, ya que uno es positivo y el otro es negativo, la suma de ellos da como resultado una sustracción, por lo que el resultado es 1, y como el uno no se escribe, nos queda la letra c. Al multiplicar los coeficientes numéricos, como uno de ellos es negativo, el resultado será negativo, en este caso (3)(–2) = –6. Eso comprueba la regla de este producto notable, o sea, que el resultado es igual al cuadrado del primer coeficiente, (c²) más la suma de los coeficientes numéricos multiplicados por la literal (), más el producto de los coeficientes numéricos.

Este producto notable es válido para cualquier valor que tengan los elementos del binomio, siempre que tenga la forma (a + #)(a – #) [donde # es un valor numérico]. Por ejemplo, los siguientes:

(2m + 3) (2m – 4) = Cuadrado del primer coeficiente: 4m²; más la suma de coeficentes numéricos multiplicados por la literal (–2m), más el producto de los coeficientes numéricos (–12): = 4m² – 2m –12.

(x² + 3) (x² + 5) = Cuadrado del primer coeficiente: x⁴; más la suma de los coeficientes numéricos multiplicados por la literal (8x²), más el producto de los coeficientes numéricos (15) = x⁴ + 8x² + 15

Cubo de la suma de dos cantidades: (c+d)³

En este caso, tenemos un binomio formado por la suma de dos cantidades, que elevaremos al cubo. La regla de producto notable es la siguiente:

Regla: El producto del cubo de la suma de dos cantidades, es igual al cubo del primer coeficiente, más el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo, más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo coeficiente.

Explicación y comprobación: En el caso del cubo de un binomio que es una suma, podemos considerar la multiplicación en dos partes, la primera, un cuadrado del binomio, y después el resultado multiplicado por el binomio. Para explicar la demostración, escribimos por inspección el resultado del cuadrado del binomio, y realizamos la multiplicación por el binomio:

Obtenemos por inspección el producto del cuadrado del binomio (c + d), que es c² + 2cd + d².  Al multiplicar (c² + 2cd + d²) por c, el producto es (c³ + 2c²d + cd²). multiplicar (c² + 2cd + d²) por d, el producto es c²d + 2cd² + d³). Al agrupar los términos comunes, como todos tiene sigo positivo, tendremos 3c²d y 3cd² . Eso comprueba la regla de este producto notable, o sea, que el resultado es igual al cubo del primer coeficiente, (c³) más el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo (3c²d), más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo (3cd²), más el cubo del segundo coeficiente (d³).

Este producto notable es válido para cualquier valor que tengan los elementos del binomio, siempre que tenga la forma (a + b)³. Por ejemplo, los siguientes:

(2m + n)³ = Cubo del primer coeficiente, (8m³) más el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo (12m²n), más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo (6mn²), más el cubo del segundo coeficiente (n³).= 8m³ + 12m²n + 6m²n + n³.

(x² + 3y)² = Cubo del primer coeficiente, (x³) más el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo (9x²y), más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo (27xy²), más el cubo del segundo coeficiente (y³).= x³ + 9x²y + 27x²y + y³..

Cubo de la resta de dos cantidades: (c+d)³

En este caso, tenemos un binomio formado por la resta de dos cantidades, que elevaremos al cubo. La regla de producto notable es la siguiente:

Regla: El producto del cubo de la resta de dos cantidades, es igual al cubo del primer coeficiente, menos el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo, más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo coeficiente.

Explicación y comprobación: En el caso del cubo de un binomio que es una resta, podemos considerar la multiplicación en dos partes, la primera, el cuadrado del binomio, y después el resultado multiplicado por el binomio. Para explicar la demostración, escribimos por inspección el resultado del cuadrado del binomio y realizamos la multiplicación por el binomio:

Obtenemos por inspección el producto del cuadrado del binomio (c – d), que es c² – 2cd + d².  Al multiplicar (c² – 2cd + d²) por c, el producto es (c³ – 2c²d + cd²). multiplicar (c² – 2cd + d²) por d, el producto es – c²d + 2cd² – d³). Al agrupar los términos comunes, como todos tiene el mismo signo, se agregan, por lo que tendremos –3c²d y 3cd² . Eso comprueba la regla de este producto notable, o sea, que el resultado es igual al cubo del primer coeficiente, (c³) menos el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo (–3c²d), más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo (3cd²), menos el cubo del segundo coeficiente (–d³).

Este producto notable es válido para cualquier valor que tengan los elementos del binomio, siempre que tenga la forma (a – b)³. Por ejemplo, los siguientes:

(2m – n)³ = Cubo del primer coeficiente, (8m³) menos el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo (–12m²n), más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo (6mn²), menos el cubo del segundo coeficiente (–n³).= 8m³ – 12m²n + 6m²n – n³.

(x² + 3y)² = Cubo del primer coeficiente, (x³) memos el triple del cuadrado del primer coeficiente por el segundo (–9x²y), más el triple del primer coeficiente por el cuadrado del segundo (27xy²), menos el cubo del segundo coeficiente (–y³).= x³ – 9x²y + 27x²y – y³.

Ejemplo de productos notables

(a+c)² = a² + 2ac + c²

(a–c)² = a² – 2ac + c²

(a+c)(a–c) = a² – c²

(a+c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² +c³

(a–c)³ = a³ – 3a²c + 3ac² –c³

(b+e)² = b² + 2be + e²

(b–e)² = b² – 2be + e²

(b+e)(b–e) = b² – e²

(b+e)³ = b³ + 3b²e + 3be² +e³

(b–e)³ = b³ – 3b²e + 3be² –e³

(2y+z)² = 4y² + 4yz + z²

(2y–z)² = 4y² – 4yz + z²

(2y+z)(2y–z) = 4y² – z²

(2y+z)³ = 8y³ + 12y²z + 6yz² +z³

(2y–z)³ = 8y³ – 12y²z + 6yz² –z³

(2m+2n)² = 4m² + 8mn + 4n²

(2m–2n)² = 4m² – 8mn + 4n²

(2m+2n)(2m–2n) = 4m² – 4n²

(2m+2n)³ = 8m³ + 24m²n + 24mn² +8n³

(2m–2n)³ = 8m³ – 24m²n + 24mn² –8n³

(p+q)² = p² + 2pq + q²

(p–q)² = p² – 2pq + q²

(p+q)(p–q) = p² – q²

(p+q)³ = p³ + 3p²q + 3pq² +q³

(p–q)³ = p³ – 3p²q + 3pq² –q³

(a+4)² = a² + 8a + 16

(a–4)² = a² – 8a + 16

(a+4)(a–4) = a² – 16

(a+4)³ = a³ + 12a² + 24a + 64

(a–4)³ = a³ – 12a² + 24a – 64

(a²+c²)² = a⁴ + 2a²c² + c⁴

(a²–c²)² = a⁴ – 2a²c² + c⁴

(a²+c²)(a²–c²) = a⁴ – c⁴

(a²+c²)³ = a⁶ + 3a⁴c² + 3a²c⁴ +c⁶

(a²–c²)³ = a⁶ – 3a⁴c² + 3a²c⁴ –c⁶

(3x+y²)² = 9x² + 6xy² + y⁴

(3x–y2)² = 9x² – 6xy² + y⁴

(3x+y2)(3x–y2) = 9x² – y⁴

(3x+y2)³ = 27x³ + 27x²y² + 9xy⁴ + y⁶

(3x–y2)³ = 27x³ – 27x²y² + 9xy⁴ – y⁶