Ejemplos de Desigualdad Factorizable

Una desigualdad es la relación que existe entre dos expresiones algebraicas para indicar que pueden ser diferentes o iguales dependiendo del tipo del que se trate, mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (>=), menor o igual que (<=).

La solución de esta relación es el conjunto de valores que puede tomar una variable para cumplir con la desigualdad.

Las propiedades de una desigualdad son las siguientes:

• Si a > b  y b > c entonces a > c.
• Si se suma un mismo número a ambos lados de una desigualdad, ésta se mantiene  a > b  entonces a + c > b + c.
• Si se multiplican ambos lados de una desigualdad por un mismo número, la desigualdad se mantiene. Si a > b entonces ac > bc.
• Si a > b entonces –a < -b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

Con estas propiedades es posible resolver una desigualdad factorizable, factorizado sus términos y encontrando el conjunto de valores de la variable que cumplen con ella.

Ejemplo de Desigualdad Factorizable:

Sea la siguiente desigualdad

x2  + 6x + 8 > 0

Factorizando la expresión de la izquierda tenemos:

(x + 2) (x + 4) > 0

Para que esta desigualdad se cumpla para todos los números reales tales que x debe de ser mayor que -2, ya que para x <= -2 el resultado es el conjunto de números menores o iguales a 0.

Encontrar el conjunto de números que cumplen con la siguiente desigualdad:

(2x + 1) (x + 2) < x (4 + x)

Realizando las operaciones tenemos que:

2x2 + 3x + 2 < x2 + 3x

Restando x2 a ambos lados de la desigualdad queda:

2x2 – x2 + 3x + 2 < x2 – x2 + 3x

x2 + 3x + 2 < 3x

restando 3x en  ambos lados de la desigualdad tenemos:

x2 + 3x – 3x + 2 < 3x – 3x

x2 + 2  < 0

entonces

x2 < 2

x < 21/2

El conjunto de números que soluciona este problema es todos aquellos números que son menores a la raíz cuadrada de 2.