Ejemplo de Mínimo Común Múltiplo

El Mínimo Común Múltiplo, representado por la sigla m.c.m., de dos o más números es el menor de los múltiplos comunes de dichos números, distinto de cero. La forma más sencilla de encontrar el m.c.m. de dos o más números es descomponer cada uno de los números en sus factores primos. Entonces el mínimo común múltiplo es igual al producto de todos los factores comunes y no comunes con su exponente mayor. Analizamos el siguiente ejemplo de mínimo común múltiplo a efectos de clarificar la idea:

1) Sean dos naves que parten juntas desde Ciudad de México. Una volverá a partir dentro de doce (12) días y la otra dentro de cuarenta (40) días. La pregunta es ¿cuántos días transcurrirán para que ambas naves juntas vuelvan a partir juntas?

En este ejemplo lo que debemos realizar es hallar el mínimo común múltiplo de 12 y de 40. Para ello descomponemos cada uno de esos números en sus factores primos.

No.      Factores Primos

12    2
6      2
3      3
1

No.    Factores Primos

40          2
20          2
10          2
5            5   
1

En el ejemplo, la descomposición de un número en sus factores primos representa dividir cada uno de ellos entre el número primo más chico que lo divida en forma exacta. Entonces llegamos a las siguientes conclusiones:

12= 2 x 2 x 3, o lo que es lo mismo 12= 2 elevado al cuadrado (2) x3   y
40= 2 x 2 x 2 x 5, o lo que es lo mismo 40= 2 elevado al cubo (3) x5

El Mínimo Común Múltiplo es el producto de los factores comunes y no comunes con su exponente más grande, o sea que el m.c.m. de 12 y 40 = 2 elevado al cubo x 3 x 5, m.c.m de 12 y 40 = 120, por lo que la respuesta correcta para este ejemplo es que las naves saldrán juntas nuevamente dentro de 120 días.

Otro ejemplo de Mínimo Común Múltiplo:

2) Dos ciclistas profesionales juegan una competencia en la pista de un velódromo. El primero de ellos demora en dar una vuelta completa a la pista 32 segundos y el segundo 48 segundos. ¿Cada cuánto tiempo en segundos, se encontrarán en el punto de partida?

El ejemplo es similar al anterior por lo que tenemos que descomponer 32 y 48 en sus factores primos.

No.    Factores primos

32    2
16    2
8      2       
4      2
2      2
1

No.    Factores primos

48    2
24    2   
12    2   
6      2       
3      3   
1

Por lo tanto 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2  o sea 32 = 2 elevado a la quinta (5) y 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 o sea 48 = 2 elevado a la cuarta (4) x 3.
Como el mínimo común múltiplo es igual al productor de los factores comunes y no comunes con su exponente mayor, tenemos que el m.c.m de 32 y 48 = 2 elevado a la quinta x 3. El mínimo común múltiplo de 32 y 48 = 96, por lo que la respuesta a este ejemplo es que se volverán a encontrar los dos ciclistas en el punto de partida a los 96 segundos.

3) En una casa bancaria las alarmas de seguridad son programadas de forma eficiente. La primera sonará cada 10 segundos, la segunda cada 15 segundos y la última cada 20 segundos. ¿Cada cuántos segundos sonarán las alarmas juntas?

El razonamiento es similar al de los ejemplos anteriores, debemos calcular el mínimo común múltiplo de 10, 15 y 20. Para ello realizamos la descomposición es sus factores primos de los tres números.

No.    Factores primos

10    2
5      5
1

No.    Factores primos

15        3
5          5
1

No.    Factores primos

20        2
10        2
5          5
1

Tenemos que 10 = 2 x 5, que 15 = 3 x 5 y que 20 = 2 al cuadrado (2) x 5. El mínimo común múltiplo de 10, 15 y 20 = 2 al cuadrado (2) x 3 x 5 = 60. La respuesta a este ejemplo es que las tres alarmas sonarán juntas a los 60 segundos (un minuto).
Recuerda que los números primos son aquellos números que solamente son divisibles entre la unidad (1) y sí mismos.